Funzione integrabile

In matematica, una funzione si dice integrabile se il suo integrale esiste ed è finito. Data la non univocità del concetto di integrale, tale definizione non è di per sé autonoma, in quanto si deve specificare quale tipo di integrale essa possieda. Generalmente, data la maggior diffusione di questo integrale rispetto agli altri, per funzione integrabile si intende integrabile "secondo Lebesgue".

Si usa a volte anche la definizione funzione sommabile; nella maggior parte dei casi i due termini sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste, ma può anche essere infinito.

Definizione rigorosa

  Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Riemann e Integrale di Lebesgue.

Riportiamo per comodità le definizioni dei due integrali più usati:

Integrale di Riemann

Una funzione ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$  limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}S(f,P,\{t_{i}\})=:\int _{a}^{b}f(x)dx}$ ,

dove ${\displaystyle P=\{x_{1}...,x_{n}\}}$  è una arbitraria partizione dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$  con mesh minore di ${\displaystyle \delta }$ , ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$  e

${\displaystyle S(f,P,\{t_{i}\})=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$ .

Il limite deve essere inteso nel seguente modo:

per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$  esiste un ${\displaystyle \delta >0}$  tale che per ogni partizione di ${\displaystyle [a,b]}$  con mesh minore di ${\displaystyle \delta }$  e per ogni scelta dei relativi punti ${\displaystyle t_{i}}$  vale

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S(f,P,\{t_{i}\})\right|<\varepsilon }$ 

Integrale di Lebesgue

• Dato uno spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ , per una funzione semplice ${\displaystyle s:X\to \mathbb {R} ,s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}$  si definisce l'integrale di Lebesgue come

${\displaystyle \int _{X}s(x)d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})}$ .

• Una funzione ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$  non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore

${\displaystyle \sup _{s}\int _{X}s(x)d\mu =:\int _{X}f(x)d\mu }$ ,

dove ${\displaystyle s}$  è una arbitraria funzione semplice tale che ${\displaystyle s\leq f}$ .

• Una funzione qualsiasi si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative

${\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}$ 

${\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}$ ,

"parte positiva" e "parte negativa" di ${\displaystyle f}$ . Si definisce in tal caso

${\displaystyle \int _{X}f(x)d\mu :=\int _{X}f^{+}(x)d\mu -\int _{X}f^{-}(x)d\mu \,}$ .}}

Altri tipi di integrali

• Integrale di Riemann-Stieltjes
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes
• Integrale di Bochner
• Integrale di Darboux
• Integrale di Daniell
• Integrale di Itō
• Integrale di Henstock-Kurzweil

Voci correlate

• Integrale
• Funzione localmente integrabile
• Funzione a quadrato sommabile
• Spazio Lp

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