Integrale di linea

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Disambiguazione – Se stai cercando il metodo di integrazione funzionale usato in meccanica quantistica, vedi integrale sui cammini.

In matematica, un integrale di linea o integrale curvilineo è un integrale in cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato integrale di contorno.

La funzione da integrare può essere un campo scalare o un campo vettoriale. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la lunghezza di un arco o, nel campo vettoriale, il prodotto scalare del campo scalare con il vettore differenziale nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su intervalli. Molte semplici formule in fisica (per esempio, ${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}}$) hanno analoghi nel continuo formulati in termini di integrali di linea (${\displaystyle W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$). L'integrale di linea definisce ad esempio anche il lavoro compiuto su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.

Calcolo vettoriale

In termini qualitativi, un integrale di linea nel calcolo vettoriale può essere pensato come la misura di un effetto di un dato campo vettoriale lungo una certa curva.

Definizione

  Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di linea di prima specie.

Per alcuni campi scalari f : Rⁿ → R, l'integrale di linea su una curva C, parametrizzata da r(t) con t ∈ [a, b], è definita da

${\displaystyle \int _{C}f=\int _{C}f\ ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|dt.}$ 

Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli integrali ellittici di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della curva di Lorenz.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di linea di seconda specie.

Similmente, per un campo vettoriale F : Rⁿ → Rⁿ, l'integrale di linea lungo una curva C, parametrizzata da r(t) con t ∈ [a, b], è definito da

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} =\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$ 

Indipendenza dal cammino

Se un campo vettoriale F è il gradiente di un campo scalare G, cioè

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}$ 

allora la derivata della funzione composta di G e r(t) è

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$ 

che è l'integrando dell'integrale di linea di F lungo r(t). Segue che, dato un cammino C

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$ 

A parole, l'integrale di F lungo C dipende solamente dai valori nei punti r(b) e r(a) ed è quindi indipendente dal cammino particolare.

Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto cammino indipendente.

Applicazioni

L'integrale di linea è spesso usato in fisica. Per esempio, il lavoro svolto su una particella che si muove su una curva C in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale F è l'integrale di linea di F lungo C.

Relazione con l'integrale di linea dell'analisi complessa

Vedendo i numeri complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un campo vettoriale corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa.

Per l'equazione di Cauchy-Riemann il rotore del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una funzione olomorfa è nullo.

Analisi complessa

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'analisi complessa. Sia U un insieme aperto di C, γ : [a, b] → U sia una curva rettificabile e f : U → C sia una funzione. Allora l'integrale di linea

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz}$ 

può essere definito suddividendo l'intervallo [a, b] in a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b e considerando l'espressione

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f{\big (}\gamma (t_{k}){\big )}{\big (}\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}){\big )}.}$ 

L'integrale è allora il limite di questa somma, per la lunghezza delle suddivisioni tendente a zero.

Se γ è una curva differenziabile con continuità, l'integrale di linea può essere valutato come un integrale di una funzione reale di variabile reale:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.}$ 

Quando γ è una curva chiusa, cioè la sua posizione iniziale e finale coincidono, la notazione:

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz}$ 

è spesso usata per l'integrale di linea di f su γ.

Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Per il teorema dei residui, spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale (vedi teorema dei residui per esempi).

Esempi

Si consideri una funzione f(z)=1/z, e la circonferenza ${\displaystyle \gamma }$  di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da

${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}}$ 

Sostituendo, si trova:

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i}$ 

che può anche essere verificato con la formula integrale di Cauchy.

Meccanica quantistica

La "integrazione sui cammini" usata in meccanica quantistica si riferisce non agli integrali trattati in questa voce ma a un metodo di integrazione funzionale, che è l'integrazione su uno spazio di cammini, di una funzione di un possibile cammino. Gli integrali di linea nel senso di questa voce sono tuttavia importanti in meccanica quantistica; per esempio, l'integrazione complessa lungo una curva chiusa è spesso utilizzata nel valutare l'ampiezza di probabilità nella teoria quantistica dello scattering.

Voci correlate

• Integrazione funzionale
• Integrale di superficie
• Integrale di volume
• Teorema del rotore
• Metodi per l'integrazione su contorno
• Circuitazione

Collegamenti esterni

• (EN) Problemi risolti su integrali di linea

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