Limite (matematica)

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica, in quanto sono usati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.

SONO UN AMEBA

Limite di una successione

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Il limite di una successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  di numeri reali è un numero ${\displaystyle a}$  a cui la successione "si avvicina sempre di più". Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che:

Per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$  esista un numero naturale ${\displaystyle N}$  tale che ${\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon }$  per ogni ${\displaystyle n>N}$ .

Una successione può non avere limite, ad esempio ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ , data da:

${\displaystyle 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots }$ 

non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite ${\displaystyle a}$ , si dice che la successione converge ad ${\displaystyle a}$ ; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione ${\displaystyle a_{n}=1/n}$ , data da:

${\displaystyle 1,1/2,1/3,1/4,\ldots }$ 

converge a zero.

Limite di una funzione

  Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di una funzione.

Il concetto di limite di una funzione è strettamente correlato a quello di limite di una successione.

Siano dati una funzione

${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ 

definita su un sottoinsieme ${\displaystyle X}$  della retta reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ed un punto di accumulazione ${\displaystyle x_{0}}$  di ${\displaystyle X}$ .

Un numero reale ${\displaystyle l}$  è il limite di ${\displaystyle f(x)}$  per ${\displaystyle x}$  tendente a ${\displaystyle x_{0}}$  se la distanza fra ${\displaystyle f(x)}$  ed ${\displaystyle l}$  è arbitrariamente piccola quando ${\displaystyle x}$  si avvicina a ${\displaystyle x_{0}}$ .

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi ${\displaystyle |x-x_{0}|}$  è la distanza fra ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle x_{0}}$  e ${\displaystyle |f(x)-l|}$  è la distanza fra ${\displaystyle f(x)}$  ed ${\displaystyle l}$ . Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente, ${\displaystyle l}$  è limite se

per ogni numero reale ${\displaystyle \epsilon >0}$  esiste un altro numero reale positivo ${\displaystyle \delta }$  tale che

${\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon }$  per ogni ${\displaystyle x}$  in ${\displaystyle X}$  con ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$ .

In questo caso si scrive

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l.}$ 

La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.

Limite insiemistico

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Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n}}$ , l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente:

Una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:

${\displaystyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)=:\lim _{n\to \infty }A_{n}}$ .

Bibliografia

• Moore E.H., Smith H.L., A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121 (1922).

Note

Voci correlate

• Forma indeterminata
• Limite superiore e limite inferiore
• Regola di De L'Hôpital
• Stima asintotica
• Tavola dei limiti notevoli

Collegamenti esterni

• (EN) La definizione di limite in MathWorld.

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