Thanandar

Confronto con gli elementi di Euclide

L’opera di Euclide si presenta come una esposizione degli elementi fondamentali della matematica elementare; è priva di introduzione e di un elenco preliminare di elementi indefiniti, sulla base dei quali si possono definire gli altri elementi.

A questo proposito è facile sollevare obiezioni sulla circolarità logica delle “definizioni” di Euclide: molte definizioni sono viziate dall’assenza di termini non precedentemente definiti. Dopo le definizioni, Euclide elenca 5 postulati e 4 nozioni comuni.

L’opera di Euclide, per la sua completezza e semplicità, ha primeggiato nell’antichità e nell’epoca più recente.

 

Il formalismo hilbertiano

L’opera più significativa e legata a quella di Euclide e I fondamenti della geometria di Hilbert: è una grande opera di sistemazione della geometria euclidea ma è anche e soprattutto un lavoro di primaria importanza storica, quale prototipo della concezione moderna delle teorie assiomatiche. In essa l’autore mette in rilievo il fatto che i termini non definiti della geometria devono essere assunti senza attribuire loro altre proprietà oltre quelle indicate negli assiomi. Analogamente, le relazioni indefinite vanno considerate come semplici astrazioni che indicano solo una corrispondenza o una rappresentazione.

Secondo Hilbert non è necessario assegnare alcun significato preliminare ai concetti indefiniti; gli elementi quali punto, retta, piano ed altri, potrebbero essere sostituiti da tavoli, sedie, e da altri oggetti; basterà che questi enti soddisfino tutti gli assiomi perché per essi valgano tutte le proprietà geometriche, per esempio, il teorema di Pitagora.

Gli assiomi non sono certo verità evidenti in sé, ma devono essere considerati arbitrari, anche se, di fatto, sono suggeriti dall’esperienza. Pertanto ogni teoria così concepita può essere interpretata in infiniti modi. Questa concezione delle teorie matematiche rappresenta il cosiddetto “formalismo hilbertiano”.

 

Gli assiomi

Hilbert suddivide gli assiomi della geometria in 5 gruppi; ciascuno dei quali esprime fatti fondamentali omogenei della nostra intuizione. Essi sono:

1. Assiomi di appartenenza (8)
2. Assiomi di ordinamento (4)
3. Assiomi di congruenza (5)
4. Assioma delle parallele
5. Assiomi di continuità (2)

 

Osservazione

Nei Fondamenti della Geometria di Hilbert, la relazione di “appartenenza” deve essere considerata come una relazione binaria fra punti e rette e fra punti e piani; la relazione di ordinamento, “fra”, come una relazione ternaria fra punti (da intendersi allineati); la relazione di “congruenza” come una relazione fra enti (segmenti, angoli).

 

Gli assiomi di congruenza

1. Dato u segmento AB ed una semiretta di origine O, esiste almeno un punto M della semiretta tale che AB sia congruente ad OM; in simboli ABºOM.
2. La congruenza fra segmenti è transitiva, cioè da ABºA’B’ e A’B’ºA’’B’’ segue ABºA’’B’’.
3. Se A, B, C sono tre punti di una retta, A’, B’, C’ sono tre punti di una retta, se B sta fra A e C e B’ sta fra A’ e C’, allora da ABºA’B’ e BCºB’C’ segue ACºA’C’.

Gli assiomi di congruenza definiscono la relazione di congruenza fra segmenti e fra angoli, e definiscono anche il concetto di movimento.

 

Osservazioni

• L’assioma 1 consente la possibilità del “trasporto” dei segmenti.
• Dai primi 3 assiomi enunciati segue che la congruenza fra segmenti è riflessiva, simmetrica e transitiva, per cui è una relazione di equivalenza. Inoltre è possibile definire la somma di segmenti ed il confronto fra segmenti.
• L’assioma 3 da alla relazione º il carattere di un a congruenza, cioè di una relazione di equivalenza invariante rispetto alla somma.
• L’assioma 4 consente il “trasporto” degli angoli.
• Dai primi quattro assiomi discende il fatto che la congruenza fra angoli è una relazione di equivalenza. Inoltre si possono definire la somma ed il confronto di angoli.
• Nell’assioma 5, scambiando B con C, si ha pure che l’angolo in C è congruente con l’angolo in C’. Per angolo in A si intende l’angolo di vertice A ed avente le semirette AB ed AC come lati. Gli angoli in A, B, ed in C si chiamano “angoli del triangolo”
• Due angoli distinti si dicono “adiacenti” se hanno lo stesso vertice, un alto in comune e se i due lati non comuni formano una retta.
• Gli angoli adiacenti agli angoli di un triangolo si dicono “esterni” al triangolo.

 

Teorema dell’angolo esterno

Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno dei due angoli del triangolo che non sono ad esso adiacenti.

Teorema di esistenza di due rette parallele

Sia a una retta, ed A un punto non appartenente ad essa; allora nel piano che contiene A ed a esiste almeno una retta che passa per A ed è parallela ad a.

Dimostrazione:

Sia B un punto della retta a; congiungendo B con A si trova l’angolo ab. Utilizzando il teorema del trasporto si costruisca l’angolo in modo che A sia il vertice e l’altro lato sia c’: i due angoli risultano congruenti. La retta che contiene la semiretta c’ è parallela alla retta a.

Supponiamo per assurdo che non lo sia: esiste un punto D di intersezione tra le due rette; si ottiene il triangolo ABD in cui l’angolo esterno c’b’ è congruente all’angolo interno ab: assurdo per il teorema dell’angolo esterno.