Linearità (matematica)

La linearità in matematica è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di proporzionalità diretta: per esempio, la legge ${\displaystyle A=3B\,}$ correla linearmente A e B (se B raddoppia, anche A raddoppia). Il significato esatto di linearità dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

Definizioni

Relazione lineare tra vettori

In algebra, n vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}}$  appartenenti a uno spazio vettoriale definito sul corpo ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  si dicono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione del tipo

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$ 

dove ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in {\mathcal {K}}}$  non sono tutti nulli^[1]; se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per ${\displaystyle a_{1}=\ldots =a_{n}=0}$ , si dice che i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  può essere scritto nel modo seguente:

${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$ ,

si dice che ${\displaystyle \mathbf {v} }$  è una combinazione lineare dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}}$ . In particolare, lo spazio ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n})}$  delle combinazioni lineari dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}}$  prende il nome di sottospazio generato da tali vettori, ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  è combinazione lineare di ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$  se e solo se i vettori ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n},v}$  sono linearmente dipendenti.

Applicazioni lineari

  Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Un'applicazione ${\displaystyle f:V\to W}$  definita da un ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ -spazio vettoriale ${\displaystyle V}$  a un ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ -spazio ${\displaystyle W}$  è lineare se, per ogni elemento ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  appartenenti a ${\displaystyle V}$  su cui agisce la funzione, e per ogni scalare ${\displaystyle \lambda }$  e ${\displaystyle \mu }$  per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

${\displaystyle f(\lambda x+\mu y)\,=\lambda f(x)\,+\mu f(y)\,}$ .

Più in generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa struttura è detto omomorfismo; a seconda della struttura definita su tali insiemi, si parla quindi di omomorfismo di gruppi, di anelli, di spazi vettoriali (vedi sopra) e di algebre.

Un'applicazione in ${\displaystyle n}$  variabili ${\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\to W}$  (dove i ${\displaystyle V_{i}}$  sono ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ -spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\quad \quad \quad \quad \quad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V_{1}\times \ldots \times V_{n}}$ ,

${\displaystyle f(a_{1}x_{1},\ldots ,a_{n}x_{n})=a_{1}\ldots a_{n}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\quad \forall a_{1},\ldots a_{n}\in {\mathcal {K}}}$ ,

è detta multilineare. Ad esempio, il prodotto scalare euclideo è un'applicazione multilineare (nello specifico, bilineare).

Equazioni lineari

Equazioni algebriche

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione lineare.

Un'equazione algebrica in n incognite ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$  si dice lineare se è della forma

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}-b=0}$ 

dove i coefficienti (costanti) ${\displaystyle a_{i}}$  non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}}$  è detta lineare se esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\cdots ,a_{n})^{T}\in {\mathcal {K}}^{n}}$  (dove ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  è un campo) e un elemento ${\displaystyle b\in {\mathcal {K}}}$  per cui si può scrivere:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =b}$ ,

dove il simbolo ${\displaystyle \cdot }$  denota il prodotto scalare ordinario definito sullo spazio ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$ .

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda dell'insieme cui si ritiene appartenga ${\displaystyle \mathbf {x} }$ . Segnatamente, un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo razionale se sono razionali i coefficienti ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},b}$ , o nel campo reale se i coefficienti sono reali; più precisamente, esistono ${\displaystyle \infty ^{r-1}}$  soluzioni, dove r è il numero di coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$  non nulli; queste soluzioni si ottengono ponendo a parametro tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve; ad esempio, se ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$ , l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{a_{1}}}\left(a_{2}t_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}+b\right)\\x_{2}=t_{2}\\\vdots \\x_{n}=t_{n}\end{cases}}}$ 

dove si sono definiti i parametri liberi ${\displaystyle t_{i}=x_{i}}$ .

Equazioni differenziali

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale lineare.

Un'equazione differenziale ordinaria è detta lineare se è della forma

${\displaystyle a_{n}(x)y^{(n)}(x)+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }(x)+a_{0}(x)y(x)=f(x)}$ 

con qualche ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ .

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di y compaiono tutte al primo grado (o a grado zero); la dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore

${\displaystyle {\mathfrak {L}}:y\mapsto a_{n}(x)y^{(n)}+\cdots +a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y}$ 

è lineare, cioè, se ${\displaystyle y_{1}\,}$  è soluzione di ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)}$  e ${\displaystyle y_{2}\,}$  è soluzione di ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(y)=f_{2}(x)}$ , allora ${\displaystyle (y_{1}+y_{2})\,}$  è soluzione di ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(y)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}$ , o, in altri termini, vale la relazione

${\displaystyle {\mathfrak {L}}(ay_{1}+by_{2})=a{\mathfrak {L}}(y_{1})+b{\mathfrak {L}}(y_{2})\quad \forall a,b\in \mathbb {R} }$ .

Sistemi di equazioni

  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema lineare.

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di m equazioni lineari, ciascuna nelle n incognite ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$ , le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema; equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una matrice ${\displaystyle A}$  mxn, il cui elemento ${\displaystyle a_{ij}}$  rappresenta il coefficiente dell'i-esima incognita nella j-esima equazione. Se allora ${\displaystyle \mathbf {x} }$  è l'n-vettore che ha per componenti le incognite, e ${\displaystyle \mathbf {b} }$  è l'm-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ,

che equivale a

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.}$ .

Un sistema del genere può essere irresolubile, se non ammette soluzioni; determinato, se ammette una e una sola soluzione; indeterminato, se ammette più di una soluzione. Se il campo ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  in cui si stanno cercando le incognite ha cardinalità infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni; questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio affine di ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ , e più precisamente

${\displaystyle \mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {b} )=\mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )+\mathbf {b} }$ ;

in particolare, lo spazio ${\displaystyle \mathrm {Sol} (A\mathbf {x} =\mathbf {0} )}$  delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} {\mbox{ e }}A\mathbf {y} =\mathbf {0} \ \Rightarrow A(\lambda \mathbf {x} +\mu \mathbf {y} )=\mathbf {0} \ {\mbox{ per ogni }}\lambda ,\mu \in {\mathcal {K}}}$ .

Esiste un teorema che mette in relazione il rango della matrice A con la risolubilità del sistema.

Luoghi geometrici

La rappresentazione cartesiana di un'equazione lineare in n incognite è un iperpiano n-1-dimensionale immerso nell'n-spazio. Ad esempio, l'equazione

${\displaystyle 3x+8y-2=0\,}$ 

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione

${\displaystyle x+2y-z+1=0\,}$ 

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z); queste equazioni sono dette in forma implicita, laddove le corrispettive forme esplicite sarebbero, rispettivamente,

${\displaystyle y=-{\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}}$ 

(rispetto alla coordinata y) e

${\displaystyle z=x+2y+1\,}$ 

(rispetto alla coordinata z).

Note

1. ^ Il vettore nullo ${\displaystyle \mathbf {0} }$  è linearmente dipendente, poiché vale ad esempio la relazione ${\displaystyle 1\mathbf {0} =\mathbf {0} }$ .

Voci correlate

• Funzione lineare
• Trasformazione lineare

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra Lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1970. ISBN 978-88-339-5035-8.

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