Base ortonormale

Template:Avvisounicode In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una base ortonormale di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare definito positivo è una base composta da vettori di norma unitaria.

Una base ortogonale è una base di vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo. Si tratta di una condizione meno restrittiva rispetto a quella di ortonormalizzazione, e solitamente si costruiscono basi ortonormali a partire da basi ortogonali.

I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione di sistema di riferimento nel piano cartesiano, e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria.

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$  uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo K, nel quale sia definito un prodotto scalare. Una base ortogonale per ${\displaystyle V}$  è una base composta da vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdots \mathbf {v} _{n}}$  a due a due ortogonali, cioè tali che:^[1]

${\displaystyle \langle \mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}\rangle =0\quad i\neq j}$ 

Si ponga il prodotto scalare definito positivo. Una base ortonormale è una base ortogonale in cui ogni vettore ha norma uno, cioè tale che:^[2]

${\displaystyle \langle \mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}\rangle =\delta _{ij}}$ 

Questa nozione si generalizza ad uno spazio di Hilbert ${\displaystyle V}$  (che può essere reale o complesso, e con dimensione finita o infinita) nel modo seguente: una base ortonormale è un insieme di vettori indipendenti, ortogonali e di norma 1, che generano un sottospazio denso in ${\displaystyle V}$ . Una tale base è spesso detta base hilbertiana.

Se B è una base ortogonale di ${\displaystyle V}$ , ogni elemento x di ${\displaystyle V}$  può essere scritto in maniera unica come:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{\mathbf {v} _{i}\in B}{\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \over \lVert \mathbf {v} _{i}\rVert ^{2}}\mathbf {v} _{i}}$ 

ed il numero:

${\displaystyle c={\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \over \lVert \mathbf {v} _{i}\rVert ^{2}}}$ 

è detto coefficiente di fourier di x rispetto al vettore di base v_i.^[3]

Se B è una base ortonormale si ha:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{\mathbf {v} _{i}\in B}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \mathbf {v} _{i}}$ 

La norma di x è quindi data da:^[4]

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}=\sum _{\mathbf {v} _{i}\in B}|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle |^{2}}$ 

Se B è una base ortonormale di ${\displaystyle V}$ , allora ${\displaystyle V}$  è isomorfo a ℓ ²(B) nel senso che esiste una mappa lineare e biunivoca Φ : H -> ℓ ²(B) tale che:

${\displaystyle \langle \Phi (\mathbf {x} ),\Phi (\mathbf {y} )\rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$ 

per ogni coppia di vettori x e y di ${\displaystyle V}$ .

Proprietà

• Ogni spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, possiede basi ortogonali grazie al teorema di Sylvester.
• Da ogni base ortogonale si può ottenere una base ortonormale normalizzando (dividendo) i componenti della base per la loro norma. Ad esempio, da ${\displaystyle \{v_{1},v_{2}\}}$  che già sappiamo ortogonale, abbiamo

${\displaystyle \{{\frac {v_{1}}{\|v_{1}\|}},{\frac {v_{2}}{\|v_{2}\|}}\}}$ .

• Ogni spazio euclideo possiede basi ortonormali, grazie all'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
• Una matrice di cambiamento di base fra basi ortonormali è una matrice ortogonale.
• Se B è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert V, ogni elemento v di V si scrive in modo unico come

${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\langle v,b\rangle b}$ 

e la norma di v è data dall'identità di Parseval

${\displaystyle \|v\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle v,b\rangle |^{2}.}$ 

Inoltre il prodotto scalare fra due vettori è dato da

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle \langle b,y\rangle .}$ 

Queste espressioni hanno senso anche se B è non numerabile: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le serie di Fourier sono un esempio.

• Una base hilbertiana è numerabile se e solo se lo spazio è separabile

Esempi

• L'insieme ${\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}}$  costituisce una base ortogonale e ortonormale di ${\displaystyle R^{3}}$ .
• L'insieme ${\displaystyle \{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \}}$  con ${\displaystyle f_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$  costituisce una base ortonormale dello spazio complesso ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ . Ciò è di fondamentale importanza nello studio delle Serie di Fourier.
• L'insieme ${\displaystyle \{e_{b}:b\in B\}}$  con ${\displaystyle e_{b}(c)=1}$  se ${\displaystyle b=c}$  e ${\displaystyle e_{b}(c)=0}$  altrimenti costituisce una base ortonormale di ${\displaystyle l^{2}(B)}$ .

Note

1. ^ S. Lang, Pag. 151
2. ^ S. Lang, Pag. 155
3. ^ S. Lang, Pag. 152
4. ^ S. Lang, Pag. 154

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

• Prodotto scalare
• Forma hermitiana
• Spazio di Hilbert
• Identità di Parseval

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