Doppio pendolo

Il doppio pendolo è un sistema fisico costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro. Il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali e, per alcuni valori dell'energia, il suo moto è caotico.

Il doppio pendolo è costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro.

Analisi

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere pendoli semplici o composti (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza ${\displaystyle \ell }$  e le masse ${\displaystyle m}$ , e il moto è limitato ad un piano.

 

Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza ${\displaystyle \ell }$  e massa ${\displaystyle m}$ .

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il centro di massa di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il momento di inerzia rispetto a tale punto è ${\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}$ . Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da ${\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ .

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come coordinata generalizzata per definire lo spazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ₁ e θ₂. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un sistema di riferimento cartesiano il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono

${\displaystyle x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},}$ 

${\displaystyle y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1},}$ 

mentre per il secondo pendolo si ha

${\displaystyle x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),}$ 

${\displaystyle y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).}$ 

Con queste informazioni si può scrivere la lagrangiana del sistema

Bibliografia

• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, 2nd edition, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1986, ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
• Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
• Northwestern University, Double Pendulum, (Java applet simulation.)
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).

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