Fenomeno di Runge

In Analisi numerica il Fenomeno di Runge è un problema relativo all'interpolazione polinomiale con polinomi di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.

La curva rossa è la funzione di Runge, la curva blu è un polinomio di quinto grado, e la curva verde è un polinomio di nono grado. L'approssimazione, in prossimità degli estremi dell'intervallo, peggiora all'aumentare del grado.

È stato scoperto da Carl David Tolmé Runge mentre studiava il comportamento degli errori dell'interpolazione polinomiale per approssimare alcune funzioni.

Problema

Consideriamo la funzione:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}}$ 

Runge trovò che interpolando questa funzione in un insieme di punti ${\displaystyle x_{i}}$  equidistanti nell'intervallo ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ , con un polinomio ${\displaystyle P_{n}(x)}$  di grado ${\displaystyle \leq n}$ , l'interpolazione risultante oscilla in ampiezza verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso ${\displaystyle -1}$  e ${\displaystyle +1}$ ).

È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }\left(\max _{x\in \left[-1,1\right]}\left|f(x)-P_{n}(x)\right|\right)=+\infty }$ 

Soluzione

Runge dimostrò che non è conveniente usare polinomi di grado elevato per interpolare. Tuttavia, l'oscillazione può essere ridotta usando i nodi di Čebyšëv in alternativa ai punti equidistanti, che permettono di diminuire l'errore massimo all'aumentare del grado del polinomio. Un'altra alternativa è l'uso dell'interpolazione spline, suddividendo la curva in più parti abbassando il grado del polinomio, di solito al terzo grado per quattro punti.

Voci correlate

• Fenomeno di Gibbs per le funzioni sinusoidali
• Spline cubica di Hermite

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