Insieme complemento

Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento: il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Complemento relativo

 

Il complemento relativo (o la differenza) di A rispetto a B:
${\displaystyle ~B\setminus A~~~~=~~~~A^{c}\cap B}$ 

Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto a B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Esso si indica solitamente come ${\displaystyle B\setminus A}$  oppure come ${\displaystyle \,\!B-A}$ . Formalmente abbiamo:

${\displaystyle B\setminus A=B-A=\{x\in B\wedge x\notin A\}}$ 

Si noti che l'insieme differenza B - A è un sottoinsieme dell'insieme B.

Esempi

• ${\displaystyle \lbrace 1,2,3,4,5\rbrace -\lbrace 3\rbrace =\lbrace 1,2,4,5\rbrace }$ 
• ${\displaystyle \lbrace a,b,c,d\rbrace -\lbrace c,d,e,f\rbrace =\lbrace a,b\rbrace }$ 
• ${\displaystyle \lbrace 1,2,3\rbrace -\lbrace 2,3,4\rbrace =\lbrace 1\rbrace }$ 
• ${\displaystyle \lbrace 2,3,4\rbrace -\lbrace 1,2,3\rbrace =\lbrace 4\rbrace }$ 

Proposizioni

Se A, B e C sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

• ${\displaystyle C-\left(A\cap B\right)=\left(C-A\right)\cup \left(C-B\right)}$ 
• ${\displaystyle C-\left(A\cup B\right)=\left(C-A\right)\cap \left(C-B\right)}$ 
• ${\displaystyle C-(B-A)=(A\cap C)\cup (C-B)}$ 
• ${\displaystyle (B-A)\cap C=(B\cap C)-A=B\cap (C-A)}$ 
• ${\displaystyle (B-A)\cup C=(B\cup C)-(A-C)}$ 
• ${\displaystyle A-A=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle \varnothing -A=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle A-\varnothing =A}$ 

Complemento assoluto

 

Il complemento assoluto di A:
${\displaystyle ~A^{c}~~~~=~~~~\emptyset ^{c}\setminus A}$ 

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

 

Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Se è definito un insieme universo U, si definisce complemento assoluto di A come il complemento relativo di A rispetto ad U. Formalmente abbiamo:

${\displaystyle A^{c}=\neg A=U-A=\{x\in U\ e\ x\notin A\}}$ 

Il complemento assoluto, indicato anche come ~ A, rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l’insieme universale è l’insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell’insieme dei numeri dispari è l’insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

PROPOSIZIONE 2: Se A e B sono sottoinsiemi di un insieme universo U, allora valgono le seguenti identità:

leggi di De Morgan:

• (A ∪ B)^C  = A^C ∩ B^C
• (A ∩ B)^C  = A^C ∪ B^C

Leggi di complementarità:

• A ∪ A^C  =  U
• A ∩ A^C  =  Ø
• Ø^C  =  U
• U^C  =  Ø
• Se A⊆B, allora B^C⊆A^C (ciò segue dall’equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale)

Involuzione o legge del doppio complemento:

• (A^C)^C  =  A.

Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

• A − B = A ∩ B^C
• (A − B)^C = A^C ∪ B

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A è un sottoinsieme non vuoto di U, allora {A, A^C} è una partizione di U.

Bibliografia

• Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
• (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory], D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
• (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlate

• Unione (insiemistica)
• Intersezione (insiemistica)
• Differenza simmetrica
• Sottoclasse (insiemistica)
• Teoria degli insiemi

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