Punto fisso

In matematica, un punto fisso per una funzione

${\displaystyle f:A\to A}$

definita su un insieme ${\displaystyle A}$ è un elemento ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle A}$ tale che x = f(x).

In altre parole, un punto fisso è un elemento (numero, punto etc.) che la funzione applica su se stesso.

Per esempio, sia f definita sull'insieme dei numeri reali come f(x) = x² − 2; allora -1 è un punto fisso di f, poiché f(-1) = -1.

Esempi

Sono funzioni con punti fissi:

• Una rotazione del piano intorno ad un punto P assegnato: in questo caso P è l'unico punto fisso della rotazione.
• Una riflessione del piano rispetto ad una retta: ogni punto della retta è un punto fisso.
• La funzione polinomiale sui numeri reali definita da

  f(x) = x² − 3x + 4,

infatti un calcolo diretto mostra che f(2) = 2.

Sono funzioni senza punti fissi:

• Una rotazione della circonferenza di un angolo diverso da zero (o 2π) è una funzione senza punti fissi sulla circonferenza.
• Una traslazione diversa dalla identità non ha punti fissi (la traslazione può essere definita su uno spazio vettoriale o anche su un gruppo).

Teoremi di esistenza

Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi. Questi teoremi si applicano in analisi matematica, analisi funzionale e topologia.

• Il Teorema del punto fisso di Banach asserisce che una contrazione su uno spazio metrico completo ha uno e un solo punto fisso.
• Il Teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che una funzione continua definita da un sottinsieme compatto e convesso dello spazio euclideo Rⁿ in sé ha sempre un punto fisso.

Alcuni teoremi estendono il Teorema di Brouwer a spazi più generali.

• Il Teorema del punto fisso di Schauder stabilisce (in una delle sue versioni): se ${\displaystyle C}$  è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Banach ${\displaystyle B}$  e ${\displaystyle f:C\to C}$  è una funzione continua con immagine compatta, allora ${\displaystyle f}$  ha almeno un punto fisso.
• Il Teorema di punto fisso di Tychonoff si applica ad ogni spazio vettoriale topologico ${\displaystyle V}$  localmente convesso. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto ${\displaystyle X}$  di ${\displaystyle V}$ , e per ogni funzione continua ${\displaystyle f:X\to X}$  esiste (almeno) un punto fisso per ${\displaystyle f}$ .
• Il Teorema di Kellogg aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Shauder e Tykhonov.
• Il Teorema di Kakutani considera corrispondenze con valori di insieme.

Questi teoremi vengono usati nel campo delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Altri teoremi di punto fisso sono presenti in altri campi:

• Il Teorema di Lawvere è un teorema di punto fisso nell'ambito della teoria delle categorie.

La proprietà topologica del punto fisso

Uno spazio topologico ${\displaystyle X}$  si dice avere la proprietà del punto fisso (brevemente PPF) se per ogni funzione continua

${\displaystyle f:X\to X}$ 

esiste un ${\displaystyle x\in X}$  tale che ${\displaystyle f(x)=x}$ .

La proprietà del punto fisso è un invariante topologico, cioè viene preservata dagli omeomorfismi. Inoltre la PPF viene preservata dalle retrazioni.

Per il teorema del punto fisso di Brouwer tutti i sottoinsiemi compatti e convessi di uno spazio euclideo posseggono la PPF. La sola compattezza non garantisce la PPF (un controesempio è costituito dall'unione di due intervalli disgiunti) e neppure la sola convessità (la retta non ha la PPF). La proprietà di convessità risulta comunque non necessaria: esistono spazi topologici non convessi che hanno la proprietà del punto fisso: un esempio di questo tipo è costituito dallo spazio formato da

${\displaystyle \left\{(0,y)\ {\big |}\ |y|\leq 1\right\}\cup \left\{\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)\ {\big |}\ x\in \left[0,{\frac {1}{\pi }}\right]\right\}}$ 

unito con l'arco che connette i punti (0,1) e (1/π,0). Nel 1932 Borsuk congetturò che la PPF fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e contraibile. Il problema rimase aperto per 20 anni finché Kinoshita trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la PPF.