Cubottaedro

In geometria il cubottaedro è uno dei quindici poliedri archimedei, ottenuto per troncamento totale delle otto cuspidi del Cubo, oppure per troncamento totale delle sei cuspidi dell'Ottaedro regolare.

Pertinenze quantitative

n° facce (F=14: n°.6 quadrati e n°.8 triangoli equilateri).
n° vertici (V=12)
n° spigoli (S=24)
valenza dei vertici (numero degli spigoli che fanno capo allo stesso vertice ) – VAL=4)
n° cuspidi ([K3]=12, uguali) – (Base: rombo sferico).
n° 1 sfera dei vertici (sfera circoscritta) di centro “O” (centro del poliedro).
n° 1 intersfera (sfera degli spigoli) di centro “O”.
n° 2 sfere delle facce di centro “O”.
n° 9 piani concentrici di simmetria speculare (Enantiomorfismo).
n° 4 piani concentrici di simmetria congrua. L'intersezione di ciascun piano con il poliedro comprende sei spigoli del poliedro stesso formanti il perimetro di un esagono regolare.

Pertinenze dimensionali

Angoli di ciascuna cuspide: [A]=90°, 60° 90°, 60°.

Caratteristiche

Dualità: Il poliedro è duale del Dodecaedro rombico.

Elementarmente, un poliedro P è duale di un altro Q allorquando il numero dei vertici di P è uguale al numero delle facce di Q e viceversa, conservando lo stesso numero di spigoli.

Isomeria geometrica: Il poliedro presenta una sola isomeria.

L'isomeria geometrica è la caratteristica distintiva di due o più Figure geometriche (Es.: Poliedri) che hanno le stesse pertinenze quantitative e dimensionali fondamentali (vertici, facce e spigoli), ma differiscono per la configurazione, ad esempio, delle cuspidi (Cuspide (geometria)).

• Tassellazione dello spazio - Il Cubottaedro è un Poliedro tassellatore, nel senso che, unito faccia a faccia con l’Ottaedro regolare, è in grado di riempire lo spazio.

Pertinenze quantitative del Cubottaedro (isomero)

Il Cubottaedro isomero si ottiene ruotando di 60° una delle due parti in cui il poliedro rimane diviso da uno solo dei quattro piani concentrici di simmetria congrua.

F, V, S, VAL, come il Cubottaedro (primitivo).
n° cuspidi ([K3]=[K3]1+[K3]2=12), con:
[K3]1=6 - (Base: rombo sferico) - (quadrato, triangolo equilatero, quadrato, triangolo equilatero).
[K3]2=6 - (Base: trapezoide sferico) - (quadrato, quadrato, triangolo equilatero, triangolo equilatero).
n° 1 piano di simmetria speculare. L'intersezione del piano con il poliedro comprende sei spigoli del poliedro stesso formanti il perimetro di un esagono regolare.
n° 3 piani a stella di simmetria speculare perpendicolari a quello descritto al precedente comma. (Enantiomorfismo).

Connessioni solidali

I quattro esagoni regolari concentrici, intersezione dei piani di simmetria congrua, aventi in comune, a due a due, una diagonale di seconda specie del poliedro, identificano la figura poliedrica detta Cubottaedro cavo (oltre gli esagoni, non ha alcun altro punto dello spazio).

Modello

Riesce facile costruire sia il modello in filo metallico (Filferromatica) dello scheletro essenziale (vertici e spigoli), che il modello in cartoncino, o con altri materiali plastici (argilla, gesso, etc!).

Bibliografia

[Bibl.1] - H. M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.

[Bibl.2] - Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.