Teoremi di punto fisso
Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi. Questi teoremi si applicano in analisi matematica, analisi funzionale e topologia.
Si possono distinguere alcune categorie:
- TPF di contrazioni (Banach)
- TPF di compattezza (Brouwer, Schauder, Schaefer, Kakutani)
- TPF di mappe nonespansive (Browder - Göhde - Kirk)
- TPF di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di noncompattezza) (Darbo e Sadovskii)
- TPF d'ordine, che si basano su proprietà di monotonia (Bourbaki, Kneser; Knaster-Tarski; Amann)
- TPF con indice di punto fisso
- TPF misti (Krasnoselskii)
I teoremi precedenti valgono nell'ambito dell'analisi matematica.
Altri teoremi di punto fisso sono presenti in altri campi della matematica:
- Il teorema di Lawvere è un teorema di punto fisso nell'ambito della teoria delle categorie.
Analisi matematica e funzionale
I seguenti teoremi vengono utilizzati in analisi matematica, in particolare nei campi delle equazione differenziale ordinarie e delle equazioni differenziali alle derivate parziali.
Mentre il teorema di Banach afferma l'esistenza e l'unicità del punto fisso, gli altri teoremi consentono l'esistenza più punti fissi.
Teoremi di punto fisso più noti
- Il teorema del punto fisso di Banach (o delle contrazioni) asserisce che una contrazione su uno spazio metrico completo ha uno e un solo punto fisso.
- Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che una funzione continua definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello spazio euclideo Rn in sé ha sempre un punto fisso.
Estensioni del teorema di Banach
- Il teorema delle funzioni contrattive asserisce che una funzione contrattiva definita in un compatto ha uno e un solo punto fisso.
- Il teorema delle funzioni non espansive asserisce che una funzione non espansiva definita in un compatto e convesso ha almeno un punto fisso.
- Il teorema di Caristi (o di Caristi-Kirk) è un'altra generalizzazione del teorema di Banach.
- Il teorema di Browder-Göhde-Kirk è un altro teorema sulle mappe non espansive.
Estensioni del teorema di Brouwer
Alcuni teoremi estendono il teorema di Brouwer a spazi più generali.
- Il teorema del punto fisso di Schauder stabilisce (in una delle sue versioni): se è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Banach e è una funzione continua con immagine compatta, allora ha almeno un punto fisso.
- Il teorema di Kellogg aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.
- Il teorema di Schaefer che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme , chiuso e convesso, del punto precedente.
- Il teorema di Rothe considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.
- Il teorema di Altman utilizza una stima della norma.
- Il teorema di Tichonov si applica ad ogni spazio vettoriale topologico localmente convesso. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto di , e per ogni funzione continua esiste (almeno) un punto fisso per .
- Il teorema di Kakutani considera corrispondenze con valori di insieme.
- Il teorema di Krasnoselskii considera una funzione che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.
Misure di non compattezza
Questi teoremi estendono il teorema di Schauder, generalizzando la compattezza con la misura di non-compattezza e le funzioni condensanti.
Bibliografia
- (EN) Klaus Deimling, "Nonlinear Functional Analysis", Springer-Verlag (1985)
- (EN) J. T. Schwartz, "Nonlinear Functional Analysis (Notes on Mathematics and It Applications)", Routledge (1969)
- (EN) D. R. Smart, "Fixed point theorems", Cambridge University Press
- (EN) Michael E. Taylor, "Partial Differential Equations III: Nonlinear Equations", Springer (1979, 1996)
- (EN) Eberhard Zeidler, "Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems", Springer (1998)
