Teoremi di punto fisso

In matematica, con teoremi di punto fisso ci si riferisce ai risultati che, in diversi contesti tra cui l'analisi matematica, la geometria o la topologia, mostrano l'esistenza di almeno un punto fisso per una qualche funzione definita in vari spazi.

In particolare, nell'ambito dell'analisi si possono distinguere alcune categorie:

• Teoremi di contrazioni (in particolare il teorema delle contrazioni o teorema del punto fisso di Banach)
• Teoremi di compattezza (risultati di Brouwer, Schauder, Schaefer, Kakutani ed altri)
• Teoremi di mappe nonespansive (studiate in particolare da Browder, Göhde e Kirk)
• Teoremi di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di noncompattezza) (Darbo e Sadovskii)
• Teoremi d'ordine, che si basano su proprietà di monotonia (Bourbaki, Kneser, Amann e ad esempio il teorema di Knaster-Tarski)
• Teoremi con indice di punto fisso
• Teoremi misti (ad esempio il teorema di Krasnoselskii)

Analisi matematica e funzionale

I seguenti teoremi vengono utilizzati in analisi matematica, in particolare nei campi delle equazione differenziale ordinarie e delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

• Il teorema del punto fisso di Banach (o delle contrazioni) asserisce che una contrazione su uno spazio metrico completo ha uno e un solo punto fisso.
• Il teorema delle funzioni contrattive asserisce che una funzione contrattiva definita in un compatto ha uno e un solo punto fisso.
• Il teorema delle funzioni non espansive asserisce che una funzione non espansiva definita in un compatto e convesso ha almeno un punto fisso.
• Il teorema di Caristi (o di Caristi-Kirk) è un'altra generalizzazione del teorema di Banach.
• Il teorema di Browder-Göhde-Kirk è un altro teorema sulle mappe non espansive.
• Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che una funzione continua definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  in sé ha sempre un punto fisso.
• Il teorema del punto fisso di Schauder stabilisce (in una delle sue versioni) che se ${\displaystyle C}$  è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Banach ${\displaystyle B}$  e ${\displaystyle f\colon C\to C}$  è una funzione continua con immagine compatta, allora ${\displaystyle f}$  ha almeno un punto fisso.
• Il teorema di Kellogg aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.
• Il teorema di Schaefer che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme ${\displaystyle C}$ , chiuso e convesso, del punto precedente.
• Il teorema di Rothe considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.
• Il teorema di Altman utilizza una stima della norma.
• Il teorema di Tichonov si applica ad ogni spazio vettoriale topologico ${\displaystyle V}$  localmente convesso. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto ${\displaystyle X}$  di ${\displaystyle V}$ , e per ogni funzione continua ${\displaystyle f\colon X\to X}$  esiste (almeno) un punto fisso per ${\displaystyle f}$ .
• Il teorema di Kakutani considera corrispondenze con valori di insieme.
• Il teorema di Krasnoselskii considera una funzione ${\displaystyle F}$  che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.
• Teorema di Darbo-Sadovskii
• Teorema di Atiyah–Bott
• Teorema di Lefschetz
• Teorema di Earle-Hamilton

Teoria degli ordini

• Teorema di Knaster-Tarski
• Teorema di Bourbaki-Witt

Geometria algebrica

• Teorema di Borel

Topologia simplettica

• Teorema di Poincaré-Birkhoff

Teoria delle categorie

• Teorema di Lawvere

Bibliografia

• (EN) Klaus Deimling, "Nonlinear Functional Analysis", Springer-Verlag (1985)
• (EN) J. T. Schwartz, "Nonlinear Functional Analysis (Notes on Mathematics and It Applications)", Routledge (1969)
• (EN) D. R. Smart, "Fixed point theorems", Cambridge University Press
• (EN) Michael E. Taylor, "Partial Differential Equations III: Nonlinear Equations", Springer (1979, 1996)
• (EN) Eberhard Zeidler, "Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems", Springer (1998)

Voci correlate

• Punto fisso

Collegamenti esterni

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