Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)

In teoria dei gruppi, il teorema di Cauchy (che prende il nome da Augustin-Louis Cauchy) afferma che se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito di ordine ${\displaystyle n}$, e ${\displaystyle p}$ è un numero primo che divide ${\displaystyle n}$, allora esiste in ${\displaystyle G}$ un elemento di ordine ${\displaystyle p}$ (e quindi un sottogruppo con ${\displaystyle p}$ elementi).

Il teorema può essere direttamente derivato dal Teorema di Sylow.

È una conseguenza immediata di questo teorema il fatto che se tutti gli elementi hanno per ordine una potenza di ${\displaystyle p}$, allora anche l'ordine ${\displaystyle n}$ del gruppo è una potenza di ${\displaystyle p}$: se infatti ${\displaystyle n}$ fosse diviso da un altro primo ${\displaystyle q}$ esisterebbe un sottogruppo con ${\displaystyle q}$ elementi, contro l'ipotesi.

Dimostrazione

Dato che, per ipotesi, ${\displaystyle p}$  è un primo che divide l'ordine del gruppo, sia

${\displaystyle ord(G)=kp=n\qquad k\in \mathbb {N} }$ 

Consideriamo il seguente insieme di ${\displaystyle p}$ -uple di elementi di ${\displaystyle G}$ :

${\displaystyle P=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p})\mid a_{1}a_{2}\ldots a_{p}=e\}}$ 

Questo contiene esattamente ${\displaystyle n^{p-1}}$  elementi: i primi ${\displaystyle p-1}$  possono essere scelti ciascuno in ${\displaystyle n}$  modi, laddove la scelta del ${\displaystyle p}$ -esimo è obbligata, dato che deve necessariamente essere l'inverso del prodotto dei primi ${\displaystyle p-1}$ .

Diciamo ora che due ${\displaystyle p}$ -uple sono equivalenti se e solo se una è ottenibile dall'altra permutandone ciclicamente gli elementi, definendo così una relazione di equivalenza. Notiamo che se gli ${\displaystyle a_{i}}$  di una ${\displaystyle p}$ -upla sono tutti uguali, allora questa è l'unico elemento della propria classe di equivalenza, mentre se almeno due ${\displaystyle a_{i}}$  sono distinti, la classe contiene esattamente ${\displaystyle p}$  ${\displaystyle p}$ -uple.

Sappiamo che sicuramente esiste una ${\displaystyle p}$ -upla formata da tutti elementi neutri, e supponiamo ora per assurdo che non ne esistano altre aventi elementi tutti uguali. Allora

${\displaystyle \vert P\vert =n^{p-1}=1+hp\qquad h\in \mathbb {N} }$ 

che è evidentemente un assurdo (perché ${\displaystyle p\mid n}$ ).

Esisterà quindi una ${\displaystyle p}$ -upla ${\displaystyle (a,a,\ldots ,a)\in P}$  e dunque tale che ${\displaystyle ord(a)=p}$ .

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