関数解析学

関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、函数解析学とも書かれる）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している^[1][2][3][4]。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される^[1][2][3][4]。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い^[1][2][3]。また、無限次元空間上での微分(フレシェ微分など)を扱うため、無限次元空間上での微分積分学という捉え方も可能である^[4]。

応用

関数解析は量子力学の数学的基礎である^[5][6]。また、コンピュータが高度に発達した現代においては数値解析（特に有限要素法、精度保証付き数値計算）において微分方程式の解の存在を議論するためなどに使われる他^[7][8][9]、機械学習にも応用される^[10]。

主な研究者

海外

• リース・フリジェシュ
• ステファン・バナフ
• イズライル・ゲルファント
• ピーター・ラックス

日本

• 加藤敏夫
• 吉田耕作
• 藤田宏

関連項目

• 弱解
• 弱形式
• 汎関数
• 超関数
• 関数方程式
• 有限要素法

微分

• フレシェ微分
• ガトー微分
• 汎関数微分

関数解析の定理

• リースの表現定理
• バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理
• フレドホルムの定理
  • フレドホルムの交代定理
• ニュートン＝カントロビッチの定理
• サードの定理
• ベールの範疇定理
• 開写像定理

不動点定理

• バナッハの不動点定理
• ブラウワーの不動点定理
• 無限次元空間における不動点定理

関数空間

• バナッハ空間
  • バナッハ空間の一覧
• ヒルベルト空間
• ソボレフ空間
• ハーディ空間

作用素

• コンパクト作用素
  • ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
• フレドホルム作用素
• 随伴作用素
• 射影作用素
• 閉作用素
• 微分作用素
• 積分作用素

関連分野

• フレドホルム理論
• 作用素論
• 作用素環論
• フーリエ解析
• 実解析

出典

1. ^ ^{a b c} Functional analysis at nLab
2. ^ ^{a b c} Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html
3. ^ ^{a b c} Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics
4. ^ ^{a b c} 関数解析の基礎-${\displaystyle \infty }$ 次元の微積分-, 堀内利郎 & 下村勝孝, 内田老鶴圃.
5. ^ 新井朝雄, 関数解析学と量子物理学
6. ^ 原隆, 数学者のための量子力学入門
7. ^ 大石進一 et. al. (2018), 精度保証付き数値計算の基礎, コロナ社.
8. ^ M. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe (2019) Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathematics).
9. ^ 桂田祐史、Poisson方程式に対する有限要素法の解析超特急
10. ^ Sam Power, Functional Analysis meets Deep Learning.

参考文献

洋書

• Yosida, K. (1995). Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg.
• Brezis, H. (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. en:Springer Science & Business Media.
• Adams, R. A., & Fournier, J. J. (2003). Sobolev Spaces. Elsevier.
• Deimling, K. (2010). Nonlinear functional analysis. Courier Corporation.
• Berger, M. S. (1977). Nonlinearity and functional analysis: lectures on nonlinear problems in mathematical analysis. en:Academic press.
• Schwartz, J. T., Schwartz, L., & Karcher, H. (1969). Nonlinear functional analysis. en:CRC Press.
• Zeidler, E., Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I-V. en:Springer Science & Business Media.

和書

• 藤田宏、黒田成俊、伊藤清三、関数解析、岩波書店。
• 黒田成俊、関数解析、共立出版。

数値解析との関係を解説する文献

• 大石進一 (1997), 非線形解析入門, コロナ社. （PDEの精度保証付き数値解法で用いる関数解析の知識を詳述している）
• 鈴木千里、数値関数解析の基礎、森北出版。

外部リンク

• 「関数解析学」の講義ノートPDF（Functional Analysis）入門用の教科書