Icosidodecaedro

In geometria l'icosidodecaedro è uno dei quindici poliedri archimedei, ottenuto per troncamento totale delle venti cuspidi del Dodecaedro regolare, oppure per troncamento totale delle dodici cuspidi dell'Icosaedro regolare.

Pertinenze quantitative

n° facce (F=32: n°.12 pentagoni regolari e n°.20 triangoli equilateri).
n° vertici (V=30)
n° spigoli (S=60)
valenza dei vertici (numero degli spigoli che fanno capo allo stesso vertice ) – VAL=4)
n° cuspidi ([K3]=30, uguali) – (Base: rombo sferico).
n°.1 sfera dei vertici (sfera circoscritta) di centro "O" (centro del poliedro).
n°.1 intersfera (sfera degli spigoli) di centro "O".
n°.2 sfere delle facce di centro "O".
n°.15 piani concentrici di simmetria speculare (Enantiomorfismo geometrico).
n°.6 piani concentrici di simmetria congrua. L'intersezione di ciascun piano con il poliedro comprende dieci spigoli del poliedro stesso formanti il perimetro di un decagono regolare.

Pertinenze dimensionali

Angoli di ciascuna Cuspide: [A]=108°, 60°, 108°, 60°.

Caratteristiche

Dualità - Il poliedro è duale del Tricontaedro rombico.

Elementarmente, un poliedro P è duale di un altro Q allorquando il numero dei vertici di P è uguale al numero delle facce di Q e viceversa, conservando lo stesso numero di spigoli.

Isomeria geometrica - Il poliedro presenta una sola isomeria.

L'isomeria geometrica è la caratteristica distintiva di due o più Figure geometriche (Figura geometrica). - Es.: Poliedri (Poliedro) che hanno le stesse pertinenze quantitative e dimensionali fondamentali (vertici, facce e spigoli), ma differiscono per la configurazione, ad esempio, delle cuspidi (Cuspide (geometria)).

Connessioni solidali

I sei decagoni regolari concentrici, intersezione dei piani di simmetria congrua, aventi in comune, a due a due, la diagonale di lunghezza maggiore del poliedro, identificano la figura poliedrica detta Icosidodecaedro cavo (oltre gli esagoni, non ha alcun altro punto dello spazio).
L'Icosidodecaedro è Poliedro superiore (circoscritto) di uno dei Poliedri composti, siglato PC.9, detto Cinque ottaedri nell'icosidodecaedro.

Icosidodecaedro isomero

L'Icosidodecaedro isomero si ottiene ruotando di 36° una delle due parti in cui il poliedro rimane diviso da uno solo dei sei piani concentrici di simmetria congrua.

Pertinenze quantitative del Icosidodecaedro isomero

F, V, S, VAL, come l'Icosidodecaedro (primitivo).
n° cuspidi ([K3]=[K3]1+[K3]2=30), con:
– [K3]1=20 - (Base: rombo sferico) - (Facce: pentagono regolare, triangolo equilatero, pentagono regolare, triangolo equilatero).
– [K3]2=10 - (Base: trapezoide sferico) - (Facce: pentagono regolare, pentagono regolare, triangolo equilatero, triangolo equilatero).
n°.1 piano di simmetria speculare. L'intersezione del piano con il poliedro comprende dieci spigoli del poliedro stesso formanti il perimetro di un decagono regolare.
n°.5 piani a stella di simmetria speculare, perpendicolari a quello descritto al precedente comma (Enantiomorfismo geometrico).

Modello

Relativamente ai due poliedri descritti, riesce facile costruire sia il modello in filo metallico dello scheletro essenziale (vertici e spigoli) (Filferromatica), che il modello in cartoncino, o con altri materiali plastici (argilla, gesso, etc!).

Icosidodecaedro e Icosidodecaedro isomero

Bibliografia

[Bibl.1] - H. M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.

[Bibl.2] - Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.

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