Varietà (geometria)

In geometria, una varietà è un oggetto localmente simile allo spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale, ma che globalmente può assumere le forme più svariate.

Localmente la superficie terrestre assomiglia ad un piano, e per questo è una varietà di dimensione 2. Tuttavia tale superficie non è "piatta", nel senso che ha una curvatura diversa da quella del piano. La curvatura incide sulla somma degli angoli interni di un triangolo: nel piano tale somma è sempre 180°, mentre su una sfera è sempre maggiore di 180°. Ad esempio, la somma degli angoli in figura è 90°+90°+50° = 230°.

Esempi di varietà sono le curve, in quanto localmente simili alla retta ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e le superfici, in quanto localmente simili al piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Se una varietà ${\displaystyle X}$ è localmente simile a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, allora si definisce ${\displaystyle X}$ una varietà di dimensione ${\displaystyle n}$. Le varietà vengono usate in molteplici branche della matematica quali la topologia, l'analisi reale, l'analisi complessa, l'algebra e la geometria algebrica. Le varietà trovano applicazioni in computer grafica e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in meccanica lagrangiana, in meccanica quantistica, in relatività generale e nella teoria delle stringhe.

Strutture su varietà

Nel caso più generale una varietà viene definita soltanto con una struttura di spazio topologico, e in tal caso si specifica usando il termine varietà topologica. Tuttavia, quello di varietà è un concetto sufficientemente semplice da potersi adattare a diversi contesti, in quanto è possibile definire ulteriori strutture su una stessa varietà. Ad esempio, nell'ambito della geometria differenziale si può definire su una varietà topologica una struttura differenziabile, per ottenere quella che viene chiamata una varietà differenziabile. Analogamente, in altri campi si definiscono le varietà riemanniane, le varietà complesse e le varietà algebriche. Esistono molti altri tipi di varietà, come le varietà simplettiche e le varietà kähleriane.

Varietà topologica

 

La circonferenza è una varietà topologica di dimensione 1. Qui è descritto un atlante con quattro carte: ciascuna è un omeomorfismo fra un aperto ed un intervallo aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 

Il concetto di varietà topologica considera uno spazio soltanto dal punto di vista topologico. Pertanto, nella definizione di una particolare varietà topologica si considerano solo le proprietà "di base" della forma di tale spazio quali la connessione, la compattezza, l'orientabilità o il "numero di buchi".

Definizione

Una varietà topologica ${\displaystyle X}$  è uno spazio topologico di Hausdorff e secondo numerabile in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo allo spazio euclideo ${\displaystyle n}$ -dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Il numero ${\displaystyle n}$  è la dimensione della varietà.^[1]

Una varietà di dimensione ${\displaystyle n}$  è spesso chiamata brevemente ${\displaystyle n}$ -varietà. Equivalentemente, si può richiedere che ${\displaystyle X}$  sia localmente omeomorfo ad un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Un omeomorfismo ${\displaystyle \varphi :U\longrightarrow V}$  fra un aperto di ${\displaystyle X}$  e un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  è detto una carta. Quindi se ${\displaystyle X}$  è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\varphi _{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ , con ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\longrightarrow V_{\alpha }}$  , che ricoprono ${\displaystyle X}$ , ovvero tali che

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$ 

Una tale famiglia di carte si definisce un atlante. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la cartografia. Infatti la superficie della Terra non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi Nord e Sud. Non a caso, Gauss fu sia un cartografo sia uno dei pionieri della geometria differenziale.

Esempi

Lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  è, chiaramente, una ${\displaystyle n}$ -varietà.

Se ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ , con ${\displaystyle n\leq m}$ , è un omeomorfismo locale (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo grafico ${\displaystyle G}$  è una ${\displaystyle n}$ -varietà. Infatti le carte locali di ${\displaystyle G}$  sono le inverse locali di ${\displaystyle g}$ , mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto ${\displaystyle G}$  è un sottospazio di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ . Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.

 

Ogni emisfero della sfera è contenuto in una carta.

La sfera ${\displaystyle n}$ -dimensionale

${\displaystyle S^{n}={\big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}:x_{1}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}=1{\big \}}}$ 

è una varietà di dimensione ${\displaystyle n}$ . Per provarlo, basta osservare che le proiezioni

${\displaystyle \varphi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{n}+1)}$ 

inducono degli omeomorfismi tra gli emisferi di ${\displaystyle S^{n}}$  (cioè l'intersezione di ${\displaystyle S^{n}}$  con un semispazio del tipo ${\displaystyle \{x_{i}>0\}}$  oppure ${\displaystyle \{x_{i}<0\}}$ ), e la palla aperta di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con centro l'origine e raggio ${\displaystyle 1}$ . Quindi la sfera è una ${\displaystyle n}$ -varietà, in quanto localmente è una varietà di tipo grafico di dimensione ${\displaystyle n}$ .

Si può definire un altro atlante di ${\displaystyle S^{n}}$  se invece delle proiezioni canoniche si usano le proiezioni stereografiche.

 

La bottiglia di Klein: ogni "quadratino" è contenuto in una carta bidimensionale.

Classificazione in dimensione bassa

La topologia della dimensione bassa è la branca della topologia che studia le varietà di dimensione fino a 4.

Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la classificazione delle varietà topologiche. La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di omeomorfismi. Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.

Con questa premessa, affermiamo esistere solo due varietà topologiche connesse di dimensione ${\displaystyle 1}$ , la circonferenza e la retta: ogni altra varietà di dimensione 1 è infatti omeomorfa a una di queste due. Le varietà di dimensione 2, chiamate superfici, sono invece infinite e più variegate. Tra queste troviamo ad esempio già molti esempi notevoli dal punto di vista topologico: la sfera, il toro, il nastro di Möbius, la bottiglia di Klein.

La bottiglia di Klein ${\displaystyle {\mathbb {K} ^{1}}}$  è un esempio importante: benché sia "localmente" un oggetto bidimensionale, non è realizzabile "globalmente" come sottoinsieme né del piano né dello spazio evitando "autointersezioni", ma è "realizzabile" dentro lo spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$  quadri-dimensionale, nel senso tecnico che esiste una inclusione topologica; ovvero una applicazione continua e iniettiva ${\displaystyle F\colon {\mathbb {K} ^{1}}\to \mathbb {R} ^{4}}$  tale che risulti un omeomorfismo sull'immagine, cioè risulti un omeomorfismo ${\displaystyle F\colon {\mathbb {K} ^{1}}\to F(\mathbb {K} ^{1})}$ , con ${\displaystyle N=F(\mathbb {K} ^{1})}$  considerato come sottospazio topologico di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ , ovvero dotato della topologia indotta dallo spazio ambiente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ . Nel caso in cui l'inclusione topologica ${\displaystyle F\colon {\mathbb {K} ^{1}}\to \mathbb {R} ^{4}}$  risulti una immersione differenziabile si dice che essa è una inclusione differenziabile, in inglese embedding (ovvero imbedding).^[2]

Una varietà di dimensione 3 intuitivamente è un oggetto che "potrebbe essere" l'universo in cui viviamo. Le 3-varietà non sono facilmente visualizzabili, ed il loro studio è una branca importante della topologia. La congettura di Poincaré, dimostrata nel 2003 da Grigori Perelman, è stato un importante problema irrisolto per più di un secolo, riguardante proprio questo ambito.

Una varietà di dimensione 4 è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla fisica teorica: la relatività generale descrive infatti lo spaziotempo come una 4-varietà.

Varietà differenziabile

  Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà differenziabile.

Una varietà differenziabile è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti del calcolo infinitesimale. Grazie a questi strumenti è possibile parlare di spazio tangente, campo vettoriale, funzione differenziabile, forma differenziale, ecc.

Una varietà differenziabile è definita come una varietà topologica, le cui funzioni di transizione sono però differenziabili (e non solamente continue come nel caso topologico).

Se le funzioni di transizione sono in più analitiche, la struttura risultante si chiama una varietà analitica.

Varietà complessa

  Lo stesso argomento in dettaglio: Superficie di Riemann.

Una varietà complessa è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti dell'analisi complessa: la varietà complessa è cioè l'analogo complesso della varietà differenziabile.

Una varietà complessa è definita come una varietà topologica di dimensione ${\displaystyle 2n}$ , le cui funzioni di transizione, viste come mappe fra aperti di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  tramite l'identificazione naturale di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$  con ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ , sono però olomorfe.

Poiché le funzioni analitiche sono differenziabili, una varietà complessa ha anche una struttura di varietà differenziabile.

Varietà algebrica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà algebrica.

Una varietà algebrica è definita con tecniche diverse da quelle usate per le varietà topologica, differenziabile o complessa.^[3]

Una varietà algebrica è un oggetto che è localmente definito come l'insieme degli zeri di uno o più polinomi con ${\displaystyle n}$  variabili in ${\displaystyle K^{n}}$ , dove ${\displaystyle K}$  è un campo fissato, come ad esempio il campo dei numeri reali o complessi. Gli esempi più semplici di varietà algebriche sono le varietà affini e le varietà proiettive.

 

Varietà affini in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due circonferenze, una parabola, una iperbole, una cubica (definita da un'equazione di terzo grado).

Varietà affine

  Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà affine.

Una varietà affine è un sottoinsieme ${\displaystyle V}$  di ${\displaystyle K^{n}}$  che è il luogo di zeri di un insieme ${\displaystyle S}$  di polinomi in ${\displaystyle n}$  variabili. In altre parole, ${\displaystyle V}$  è l'insieme dei punti su cui si annullano contemporaneamente tutti i polinomi in ${\displaystyle S}$ , cioè ${\displaystyle V}$  è l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali. Generalmente si indica ${\displaystyle V=V(S)}$  per rimarcare la dipendenza di ${\displaystyle V}$  dall'insieme ${\displaystyle S}$ .

I polinomi in ${\displaystyle S}$  non devono necessariamente essere in numero finito. Se ${\displaystyle I(S)}$  è l'ideale generato da ${\displaystyle S}$ , risulta che ${\displaystyle V(S)=V(I(S))}$ : quindi ogni varietà è in verità il luogo di zeri di un ideale di polinomi. L'importanza degli ideali nella teoria degli anelli discende proprio da questo fatto.

Varietà proiettiva

  Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà proiettiva.

Una varietà proiettiva è un sottoinsieme ${\displaystyle V}$  dello spazio proiettivo ${\displaystyle P^{n}(K)}$ , definito analogamente alla varietà affine come luogo di zeri di un insieme ${\displaystyle S}$  di polinomi. L'unica differenza con il caso affine sta nel fatto che tali polinomi hanno ${\displaystyle n+1}$  variabili, e poiché le coordinate omogenee di un punto nello spazio proiettivo sono definite a meno di una costante moltiplicativa, questi devono essere omogenei affinché le equazioni abbiano senso.

Varietà riemanniana

  Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà riemanniana.

 

Un triangolo in una varietà con curvatura negativa: la somma degli angoli interni è inferiore a 180°

Una varietà riemanniana è una varietà differenziabile in cui lo spazio tangente in ogni punto è dotato di un prodotto scalare che varia in modo continuo al variare del punto (più precisamente, varia in modo liscio). Analogamente a quanto accade per gli spazi euclidei, la presenza di questo prodotto scalare permette di parlare di distanza fra punti, lunghezze di curve, angoli, aree e volumi.

In particolare una varietà riemanniana è uno spazio metrico, su cui è definito il concetto di geodetica come curva che realizza localmente la distanza fra due punti. Su una varietà riemanniana sono quindi presenti tutti gli enti geometrici classici della geometria euclidea, benché il loro comportamento possa differenziarsi enormemente dal comportamento degli usuali enti nel piano: ad esempio può non valere il V postulato di Euclide, né altri assiomi di Hilbert. Localmente, questa differenza di comportamento è misurata dalla curvatura della varietà riemanniana. Globalmente, è dovuta alla topologia della varietà.

Esempi di varietà riemanniane sono le sottovarietà dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . La sfera ${\displaystyle n}$ -dimensionale in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$  è un esempio fondamentale di varietà riemanniana con curvatura positiva. Lo spazio euclideo ha invece curvatura nulla. Uno spazio importante con curvatura negativa è il disco di Poincaré: si tratta dell'usuale palla in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , su cui è però definita una metrica diversa da quella euclidea.

Origine del termine

  Lo stesso argomento in dettaglio: Aggettivo numerale § Etimologia e paralleli.

In italiano si traduce con varietà il termine tedesco Mannigfaltigkeit, che compare per la prima volta nella tesi di dottorato del 1851 di Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. Riemann si pone il problema di introdurre delle "grandezze molteplicemente estese", aventi cioè "più dimensioni", e le definisce usando quel termine.

Analizzando il termine come parola composta, Mannig-faltig-keit, si riconosce in essa un parallelo con il termine latino multi-plic-itas, sicché lo si potrebbe tradurre letteralmente come 'molteplicità'.

Note

1. ^ Kosniowski, C.,  p. 75
2. ^ Sharpe, R.W., p. 16
3. ^ In inglese i nomi variety e manifold sono usati rispettivamente per le varietà algebriche e quelle topologiche, differenziabili o complesse.

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) R.W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
• (EN) F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3.

Voci correlate

• 3-varietà
• Superficie (matematica)
• Supervarietà (geometria)
• Geometria differenziale
• Topologia differenziale
• Topologia della dimensione bassa
• Varietà con bordo
• Varietà fibrata
• Varietà di Seifert
• Geometria complessa

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica