Triangolo isoscele

In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.

Triangolo isoscele

Vale il seguente teorema: un triangolo ha due lati congruenti solo se ha due angoli congruenti e viceversa. Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come Pons asinorum, ponte degli asini.

Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

Simmetrie

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme ${\displaystyle \{1,-1\}}$ .

Triangoli isosceli in geometria analitica

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. ${\displaystyle y=k}$ 
2. ${\displaystyle y=mx}$ 
3. ${\displaystyle y=-mx}$ 

ne calcoliamo l'intersezione.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=mx\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {k}{m}}\\&y=m\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle A\left({\frac {k}{m}},m\right)}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=-mx\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x=-{\frac {k}{m}}\\&y=m\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle B\left(-{\frac {k}{m}},m\right)}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&y=mx\\&y=-mx\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle {\rm {C}}(0,0)}$ 

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti ${\displaystyle AC}$  e ${\displaystyle BC}$ .

${\displaystyle AC={\sqrt {\left({\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}}$ 

${\displaystyle BC={\sqrt {\left(-{\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}}$ 

Quindi il triangolo è isoscele sulla base ${\displaystyle AB}$ . In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse ${\displaystyle y}$ .

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.

Dati i due punti:

1. ${\displaystyle {\rm {A}}(x_{1},k)}$ 
2. ${\displaystyle {\rm {B}}(x_{2},k)}$ 

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo ${\displaystyle M}$  e poi ${\displaystyle C}$ .

${\displaystyle M\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},k\right)}$ 

Quindi troviamo ${\displaystyle C}$ , che avrà la stessa ascissa di ${\displaystyle M}$  e diversa ordinata.

${\displaystyle C\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},h\right)}$ 

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

${\displaystyle AC={\sqrt {\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}}$ 

${\displaystyle BC={\sqrt {\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}}$ 

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

${\displaystyle mAC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{2}-x_{1}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{2}-x_{1}}}}$ 

${\displaystyle mBC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{1}-x_{2}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{1}-x_{2}}}}$ 

Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. ${\displaystyle y=x+q}$ 
2. ${\displaystyle y=mx}$ 
3. ${\displaystyle y={\frac {1}{m}}x}$ 

ne calcoliamo l'intersezione.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y=mx\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x(m-1)=q\\&y=mx\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {q}{m-1}}\\&y={\frac {mq}{m-1}}\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle A\left({\frac {q}{m-1}},{\frac {mq}{m-1}}\right)}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x(1-m)=mq\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {mq}{1-m}}\\&y={\frac {q}{1-m}}\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle B\left({\frac {mq}{1-m}},{\frac {q}{1-m}}\right)}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.}$ 

${\displaystyle {\rm {C}}(0,0)}$ 

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti ${\displaystyle AC}$  e ${\displaystyle BC}$ .

${\displaystyle AC={\sqrt {\left({\frac {q}{m-1}}\right)^{2}+\left({\frac {mq}{m-1}}\right)^{2}}}}$ 

${\displaystyle BC={\sqrt {\left({\frac {mq}{1-m}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{1-m}}\right)^{2}}}}$ 

Quindi il triangolo è isoscele sulla base ${\displaystyle AB}$ . In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse ${\displaystyle y}$ .

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).

Dati i due punti:

1. ${\displaystyle {\rm {A}}(0,q)}$ 
2. ${\displaystyle {\rm {B}}(-q,0)}$ 

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo ${\displaystyle M}$  e poi ${\displaystyle C}$ .

${\displaystyle M\left(-{\frac {q}{2}},{\frac {q}{2}}\right)}$ 

Quindi troviamo ${\displaystyle C}$ , che si trova sulla retta di equazione ${\displaystyle y=-x}$  perpendicolare alla base e passante per ${\displaystyle M}$ .

${\displaystyle C(h,-h)}$ 

dove ${\displaystyle h}$  è un numero reale arbitrario diverso da ${\displaystyle 0}$ .

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

${\displaystyle AC={\sqrt {h^{2}+(q+h)^{2}}}}$ 

${\displaystyle BC={\sqrt {(-q-h)^{2}+h^{2}}}}$ 

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

${\displaystyle mAC={\frac {-h-q}{h}}=-{\frac {h+q}{h}}}$ 

${\displaystyle mBC={\frac {-h}{h+q}}=-{\frac {h}{h+q}}}$ 

Voci correlate

• Triangolo
• Triangolo equilatero
• Triangolo scaleno
• Teorema diretto dei triangoli isosceli

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