Retta

La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

Una retta viene disegnata come un segmento con estremi tratteggiati

Definizioni

Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.

Due rette nel piano possono essere:

• incidenti se si intersecano in uno e un solo punto;
• parallele se non si intersecano in uno e solo punto.

Due rette nello spazio possono essere:

• complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti;
• sghembe se non sono contenute in un piano comune.

Proprietà

La retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente:

• Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette.
• Per due punti passa una sola retta.
• Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali.
• Nello spazio, per una retta passano infiniti piani.

Le prime 3 proprietà sono valide sia nel piano che nello spazio.

Retta nel piano cartesiano

  Lo stesso argomento in dettaglio: Retta nel piano cartesiano.

Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare

${\displaystyle ax+by+c=0}$ 

dove i coefficienti ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  e ${\displaystyle c}$  sono dei numeri reali fissati, con ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  non contemporaneamente nulli.

Se ${\displaystyle b\neq 0}$  oppure ${\displaystyle a\neq 0}$ , è possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:

${\displaystyle y=mx+q}$  oppure ${\displaystyle x=my+q}$ 

dove ${\displaystyle m}$  si chiama coefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta.

Retta nello spazio euclideo tridimensionale

Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta come luogo di intersezione di due piani non paralleli:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{matrix}}\right.}$ 

Retta in uno spazio euclideo n-dimensionale

Nello spazio euclideo n-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , una retta è un insieme dei punti del tipo

${\displaystyle r=\{\mathbf {x} _{0}+t\mathbf {v} \ |\ t\in \mathbb {R} \}}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  e ${\displaystyle \mathbf {v} }$  sono due vettori fissati in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con ${\displaystyle \mathbf {v} }$  diverso da zero. Il vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  descrive la direzione della retta, mentre ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è un qualsiasi punto nella retta. Scelte differenti dei vettori ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  e ${\displaystyle \mathbf {v} }$  possono descrivere la stessa retta.

Questa definizione di retta nello spazio di dimensione n è una estensione della rappresentazione in forma esplicita nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in forma implicita come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie ${\displaystyle n-1}$  equazioni.

Voci correlate

• Piano
• Perpendicolarità
• Parallelismo
• Retta proiettiva

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