Funzione sinc

In matematica la funzione sinc (o seno cardinale), indicata come ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}$ o, più raramente, con ${\displaystyle \mathrm {Sa} (x)}$, può essere definita in due modi.

La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non normalizzata (rosso).

La funzione sinc normalizzata, usata nell'elaborazione numerica dei segnali e nella teoria dell'informazione è definita come:

${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}}$

mentre la funzione sinc non normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:

${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}}$

In entrambi i casi, il limite della funzione nel punto ${\displaystyle 0}$, che è una singolarità eliminabile, calcolabile attraverso la regola di de l'Hôpital, è uguale a ${\displaystyle 1}$. La sinc è quindi una funzione analitica ovunque.

Proprietà

• La funzione sinc non normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di ${\displaystyle \pi }$ ; quella normalizzata per valori interi, sempre diversi da zero.

• I massimi e minimi locali per la funzione sinc non-normalizzata si trovano nei punti di intersezione con la funzione coseno. Quindi ${\displaystyle {\frac {\sin(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )}$  per ogni ${\displaystyle \xi }$  per cui la derivata di ${\displaystyle \sin(\xi ) \over \xi }$  è nulla.

• La funzione sinc normalizzata può essere rappresentata come prodotto infinito:

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$ 

oppure utilizzando la funzione gamma

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}$ 

• La trasformata di Fourier della funzione sinc normalizzata è uguale a ${\displaystyle \mathrm {rect} (f)}$ 

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sinc} (t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)}$ 

dove la funzione rettangolo assume il valore unitario per argomenti tra ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$  e ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ . Questo integrale di Fourier include il caso speciale

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}dx=\mathrm {rect} (0)=1}$ 

che è un integrale improprio. Poiché

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|dx=+\infty }$ 

non si tratta di un integrale di Lebesgue.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione sinc, in MathWorld, Wolfram Research.  

Voci correlate

• Seno (matematica)
• Teoria dei segnali
• Punto di discontinuità
• Integrale di Borwein

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