Particella libera

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In meccanica quantistica il primo problema quantistico è indubbiamente lo studio della particella libera in una dimensione, intendendo con l'aggettivo libera, il fatto che essa non è sottoposta ad alcun potenziale. Lo studio della particella libera è importante anche perché alcuni problemi tridimensionali si riducono a problemi equivalenti unidimensionali.

L'equazione di Schrödinger in una dimensione è in generale:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\cdot \psi (x)=E\cdot \psi (x)}$

poiché ${\displaystyle V(x)=0}$ si ha l'equazione di Schrödinger per la particella libera:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\cdot \psi (x)}$

dove m è la massa della particella. Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, ponendola nella forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\cdot \psi (x)}$

dove ${\displaystyle k={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}}$. La sua soluzione generale è della forma:

${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$

con A,B coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno.

Imponendo le condizioni al contorno che la funzione d'onda si annulli all'infinito ${\displaystyle \psi (\infty )=0}$ si ottiene:

${\displaystyle B=0}$

La costante A si determina imponendo la normalizzazione degli stati.

Voci correlate

• Particella in una scatola
• Oscillatore armonico quantistico