Processo di Poisson

Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di variabili aleatorie N_t per t>0, che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo t. Inoltre il numero di eventi tra il tempo a e il tempo b è dato come N_b − N_a ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da t a N_t(ω), dove ω appartiene allo spazio di probabilità su cui è definita N) è una funzione a gradino sui numeri interi

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche un esempio di catena di Markov a tempo continuo.

Definizione

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

Definizione infinitesimale

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• N₀=0
• Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ovvero le variabili aleatorie

${\displaystyle (N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}}),\dots (N_{t_{1}}-N_{t_{0}})\qquad \forall t_{0}=0\leq t_{1}<\dots <t_{k}}$ 

sono indipendenti.

• La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ovvero, per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ 

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda h+o(h)}$ 

La costante di proporzionalità λ è detta intensità del processo.

• La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ovvero

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}>1)=o(h)}$ 

Costruzione attraverso i tempi di attesa

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie S_k l'uno dall'altro, dove gli S_k sono distribuzioni esponenziali di parametro λ, ognuna indipendente dalle altre. Allora il processo definito da

${\displaystyle N_{t}=\sup {\{n:\sum _{k=1}^{n}{S_{k}}\leq t\}}}$ 

è un processo di Poisson di intensità λ

Definizione attraverso le probabilità di transizione

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• N₀=0
• Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno distribuzione di Poisson di parametro λt, ovvero:

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+\tau }-N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}$ 

Proprietà

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:

• Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov.
• Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov forte.
• Il tempo del n-esimo evento ha distribuzione Gamma ${\displaystyle \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)}$ .
• Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è uniforme.
• Se N_t e M_t sono due processi di Poisson indipendenti di intensità λ e μ, allora Z_t=N_t+M_t è un processo di Poisson di intensità λ+μ.
• Il processo di Poisson è un processo di Lévy

Bibliografia

• J.R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997.

Voci correlate

• Distribuzione di Poisson
• Processo di Poisson composto
• Processo markoviano
• Processo stocastico
• Teoria delle code

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica