Funzione iniettiva

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa ad elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

Un esempio di funzione iniettiva

Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In altre parole, una funzione da un insieme ${\displaystyle X}$ a un insieme ${\displaystyle Y}$ è iniettiva se non si può arrivare a un elemento di ${\displaystyle Y}$ in due modi diversi; è però possibile che ci siano elementi di ${\displaystyle Y}$ impossibili da raggiungere da un qualsiasi elemento di ${\displaystyle X}$.

Definizione

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ovvero ${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}}$  implica ${\displaystyle f(a_{1})\neq f(a_{2})}$ ; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ovvero ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$  implica ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ .

Simbolicamente:^[1][2]

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y}$ 

oppure, nella forma contronominale:^[3]

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}$ 

Proprietà

Grafico

 

Questo è il grafico di una funzione reale di variabile reale non iniettiva; c'è quindi una retta parallela all'asse x che lo interseca in più di un punto

Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine ${\displaystyle {\text{Im}}(f)=f(X)=\{f(a)\mid a\in X\}}$  è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico ${\displaystyle \Gamma (f)=\{(a,b)\in X\times Y\mid f(a)=b\}}$  sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se ${\displaystyle f}$  è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$  intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).^[4]

Viceversa, se ${\displaystyle f}$  è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})=b}$ . Dunque la retta ${\displaystyle y=b}$  interseca il grafico ${\displaystyle \Gamma (f)}$  in almeno due punti: ${\displaystyle (a_{1},b)}$  e ${\displaystyle (a_{2},b)}$ .

Omomorfismi

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.^[5][6]

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.^[7] Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità

 

La funzione esponenziale, definita da ${\displaystyle \mathbb {R} }$  alla sola immagine ${\displaystyle \exp(\mathbb {R} )=]0,\infty [}$  è invertibile, con inversa la funzione logaritmo ${\displaystyle \log(x)}$ La funzione logaritmo ${\displaystyle \log(x)}$  è l'inversa della funzione esponenziale ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ , se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo ${\displaystyle (0,+\infty )}$ 

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to f(X)}$ , invertibile.

Una funzione invertibile ${\displaystyle f}$  è iniettiva, ed anche la sua inversa ${\displaystyle f^{-1}}$ , essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})\Rightarrow g(f(a_{1}))\neq g(f(a_{2}))}$ 

Se la funzione composta ${\displaystyle g\circ f}$  è iniettiva, allora ${\displaystyle f}$  è iniettiva, ma non è detto che ${\displaystyle g}$  lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva ${\displaystyle g\circ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to ({e^{x}})^{2}}$  è composizione di una funzione iniettiva ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to e^{x}}$  e di una funzione non iniettiva ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to x^{2}}$ .

Se esistono due funzioni distinte ${\displaystyle g,h\colon C\to A}$  tali che ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ , allora ${\displaystyle f}$  non è iniettiva: infatti esiste un ${\displaystyle c\in C}$  con ${\displaystyle g(c)\neq h(c)}$ , ma ${\displaystyle f(g(c))=f(h(c))}$ .

Cardinalità

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito ${\displaystyle A}$  con ${\displaystyle n}$  elementi ad un insieme finito ${\displaystyle B}$  con ${\displaystyle m}$  elementi è pari al numero di disposizioni semplici di ${\displaystyle m}$  elementi, presi ${\displaystyle n}$  a ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle {\frac {m!}{(m-n)!}}}$ .

Altre proprietà

• Se ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$  è iniettiva, e ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  sono sottinsiemi di A, allora ${\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)}$ .

• Ogni funzione ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$  può essere scomposta come composizione ${\displaystyle f=h\circ g}$  di una funzione suriettiva ${\displaystyle g\colon A\to f(A)}$  e di una funzione iniettiva ${\displaystyle h\colon f(A)\to B}$ , definendo ${\displaystyle g(a)=f(a)}$  e ${\displaystyle h(b)=b}$ .

Esempi

• Su ogni insieme ${\displaystyle X}$  la funzione identità ${\displaystyle id_{X}\colon X\to X\colon x\mapsto x}$  è iniettiva (e suriettiva).
• L'inclusione ${\displaystyle \imath \colon Y\hookrightarrow X}$  di un sottoinsieme ${\displaystyle Y\subset X}$  in ${\displaystyle X}$ , essendo restrizione dell'identità ${\displaystyle id_{X}}$ , è iniettiva.
• Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, ${\displaystyle f\colon \{x\}\to Y}$ , è iniettiva.
• Una funzione definita sull'insieme vuoto, ${\displaystyle f\colon \emptyset \to Y}$ , è iniettiva.
• Una funzione costante, ${\displaystyle f_{y}\colon X\to Y\colon x\mapsto y}$ , definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
• Per ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle a\neq 0}$ , la funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto ax+b}$  è iniettiva (e suriettiva).
• La funzione esponenziale ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$  non è iniettiva.
• La funzione esponenziale ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  è iniettiva.
• La funzione logaritmo, ${\displaystyle \log \colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} }$ , è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, ${\displaystyle f\in D^{1}(\mathbb {R} )}$ , la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, ${\displaystyle f\in D^{1}(\mathbb {R} )}$ , la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
• La funzione quadrato ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \colon x\mapsto x^{2}}$  è iniettiva.
• La funzione quadrato ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{2}}$  non è iniettiva.
• La funzione cubo ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{3}}$  è iniettiva.
• La funzione cubo ${\displaystyle f\colon \mathbb {F} _{7}\to \mathbb {F} _{7}\colon x\mapsto x^{3}}$  non è iniettiva.
• Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Note

1. ^ Herstein, I. N., Pag. 13
2. ^ Hungerford, T. W., Pag. 4
3. ^ Soardi, P.M., Pag.31
4. ^ Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I, traduzione di Roger Cooke, Springer Science & Business Media, 2004, p. 165, ISBN 978-3-540-40386-9.
5. ^ Herstein, I. N., Pag. 61
6. ^ Hungerford, T. W., Pag. 31
7. ^ Lang, Serge, Pag. 94

Bibliografia

• I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti, 1995, ISBN 88-359-3634-9.
• Thomas W. Hungerford, Algebra, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90518-9.
• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

• Funzione suriettiva
• Funzione biiettiva
• Immersione (matematica)

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