Differenze divise

In matematica, una differenza divisa è una quantità, definita in modo ricorsivo su punti distinti. Vengono utilizzate ad esempio nell'interpolazione polinomiale, nei metodi di interpolazione di Newton alle differenze divise e interpolazione di Hermite.

Definizione

Dati ${\displaystyle k+1}$ punti

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$ 

Definiamo le differenze divise come:

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}$ 

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$ 

Definiamo le differenze divise all'indietro come:

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}$ 

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$ 

dove ${\displaystyle j}$ è l'ordine della differenza divisa.

Notazione

Se i punti ${\textstyle \{x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}\}}$  vengono dati come valori di una funzione ${\displaystyle f}$ ,

${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{k}))}$ 

si può trovare la notazione

${\displaystyle f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}$ 

${\displaystyle f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$ 

Altre scritture equivalenti sono:

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n}]f,}$ 

${\displaystyle f_{n}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ 

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n};f],}$ 

${\displaystyle D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f}$ 

etc.

Esempi

Differenze divise per ${\displaystyle \nu =0}$ e i primi valori di ${\displaystyle j}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}}$ 

Per evidenziare il processo ricorsivo, le differenze divise possono essere messe in forma tabellare

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}}$ 

Rapporto incrementale

Data una funzione ${\displaystyle f}$ , presi due punti ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1}))}$ , la differenza divisa di ordine ${\textstyle 1}$ :

${\displaystyle A_{1}=f[x_{0},x_{1}]={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {\Delta f}{\Delta x}}}$ 

è il rapporto incrementale costruito su due punti per la quantità ${\displaystyle h=x_{1}-x_{0}}$ .

Invarianza per permutazione

Per induzione matematica non è difficile dimostrare che

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(x_{k})}{\prod _{j=0,\ j\neq k}^{n}{(x_{k}-x_{j})}}}}$ 

Questa espressione ci permette di affermare che ${\textstyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$  è una funzione invariante a permutazione dei suoi argomenti, cioè

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=f[x_{i_{0}},x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{n}}]}$ 

dove ${\textstyle (i_{0},i_{1},\dots ,i_{n})}$  denota una qualsiasi permutazione di ${\textstyle (0,1,\dots ,n)}$ .