Utente:Vilnius/Sandbox

In matematica, un periodo è un tipo di numero che può essere espresso mediante l'integrale di una funzione algebrica su un dominio algebrico, cioè un insieme numerico definito tramite un’equazione o una disuguaglianza. Tale nozione è stata ufficialmente introdotta da Maxim Kontsevich e Don Zagier nel 2001^[1], riprendendo un discorso tenuto da Kontsevich nel 1999 per il Journée Annuelle della Société mathématique de France.

Definizione

Secondo Kontsevich “un periodo è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono i valori di integrali assolutamente convergenti di funzioni razionali a coefficienti razionali su domini in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiti tramite diseguaglianze polinomiali a coefficienti razionali"^[2].

È del tutto equivalente sostituire nella definizione sopra ai numeri razionali quelli algebrici.

In pratica un periodo p si presenta nella forma:

${\displaystyle p=\int \limits _{\Delta }{\frac {f(x_{1},...,x_{n})}{g(x_{1},...,x_{n})}}dx_{1}...dx_{n}}$ ,

dove ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$ e f e g sono polinomi con coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Il nome fa riferimento al fatto che casi notevoli di tali numeri sono ${\displaystyle \pi }$  e suoi multipli, i quali sono, appunto, i periodi di funzioni periodiche fondamentali, come ad esempio ${\displaystyle sin(x)}$ , ${\displaystyle cos(x)}$ e ${\displaystyle e^{ix}}$ , o periodi di funzioni ellittiche.

L’insieme di tutti i periodi viene indicato con il simbolo ${\displaystyle \mathbb {P} }$ .

Esempi

• Tutti i numeri algebrici, come
  

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\int _{2x^{2}\leq 1}\mathrm {d} x\qquad }$ ossia${\displaystyle \qquad {\sqrt {2}}=\int _{-1/{\sqrt {2}}}^{1/{\sqrt {2}}}\mathrm {d} x}$ .
In pratica ponendo l’integrando uguale alla costante 1 si può sempre costruire il valore finale in base al dominio.

• I numeri trascendenti come ${\displaystyle \pi }$  sono un periodo, in quanto possono essere scritti come

${\displaystyle \pi =\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$ 

${\displaystyle 2\pi =\int _{x^{2}+y^{2}=1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$ 

${\displaystyle 2\pi i=\oint {\frac {dz}{z}}}$ 

nel piano complesso attorno al punto z = 0.

• I logaritmi di numeri algebrici, come:

${\displaystyle \ln 2=\int _{1<x<2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\qquad }$ ossia ${\displaystyle \qquad \ln 2=\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$ 

• Gli integrali ellittici come ad esempio i periodi delle funzioni ellittiche di Weierstrass di parametri algebrici g₂, g₃:

${\displaystyle \omega _{i}=\int _{e_{i}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}}\quad (i=1,2)}$ 

• I valori interi della funzione zeta di Riemann, come

${\displaystyle \zeta (3)=\iiint \limits _{0<x<y<z<1}{\frac {\mathrm {d} xdydz}{(1-x)yz}}}$ 

• La fuzione gamma ${\displaystyle \Gamma (p/q)^{q}}$  per p e q numeri naturali, come

${\displaystyle \Gamma (1/3)^{3}=2^{4/3}3^{1/2}\pi \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{3}}}}}$ 

Caratteristiche

La somma e il prodotto di due periodi è anch'esso un periodo, perciò i periodi formano un anello^[3].

Inclusione

I vari tipi di numeri sono costruiti per estensioni successive, partendo dai numeri naturali ${\displaystyle \mathbb {N} }$  fino ad arrivare ai complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , ottenendo la sequenza classica

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ .

È possibile raffinare la sequenza introducendo i numeri algebrici ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ , che sono tutti i numeri reali e complessi, non trascendenti, per cui

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} &\subset &\mathbb {Q} \subset {\overline {\mathbb {Q} }}\\&&\cap \quad \ \ \cap \\&&\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \end{array}}}$  .

Tutti i tipi di numeri fino agli algebrici (prima riga), sono numerabili, mentre quelli della seconda, che include i trascendenti, non lo sono.

I periodi, invece sono numerabili pur includendo alcuni trascendenti come ${\displaystyle \pi }$ ^[4], e quindi sono inclusi nei complessi.

Se è facile riuscire a rappresentare dei complessi, anche trascendenti, come periodi, è difficile trovare dei numeri che sicuramente non siano periodi. La costante di Nepero e, è un numero trascendente che potrebbe non essere un periodo.

Nel 2008, Masahiko Yoshinaga^[5] ha scoperto come produrre un reale computabile che non sia un periodo.

Note

1. ^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Periods (PDF), 2001.
2. ^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Periods (PDF), 2001, p. 3.
3. ^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Periods (PDF), 2001, p. 6.
   
   «periods form an algebra, so we get new periods by taking sums and products of known ones»
4. ^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Periods (PDF), 2001, p. 2.
5. ^ Masahiko Yoshinaga, Periods and elementary real numbers, 2008.

Bibliografia

• Maxim Kontsevich e Don Zagier, Periods, 2001 (PDF), su ihes.fr.
• Michel Waldschmidt, Périodes d’après M. Kontsevich et D. Zagier, 2004 (PDF), su webusers.imj-prg.fr.
• Periods and Feynman integrals, 2007, su arxiv.org.
• Period, su planetmath.org.
• Stefan Müller-Stach, What is a Period? (PDF), su www2.mathematik.hu-berlin.de.
• Matthew von Hippel, Il codice delle particelle, Le Scienze n. 607, marzo 2019

Voci correlate

• Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
• Equazion di Picard-Fuchs
• Funzione L