Utente:BernardiniMarco/Sandbox

In fisica l'elasticità è la proprietà che permette ad un corpo di deformarsi sotto l'azione di una forza esterna e di riacquisire, se le deformazioni non risultano eccessive, la sua forma originale al venir meno della causa sollecitante. Se il corpo, cessata la sollecitazione, riassume esattamente la configurazione iniziale è detto perfettamente elastico^[1].

L'elasticità riguarda sia i corpi solidi che i fluidi. I primi sono soggetti a elasticità di forma e di volume, reagiscono cioè elasticamente a sollecitazioni che tendono a deformare una di queste; i fluidi invece presentano solo elasticità di volume, in quanto reagiscono elasticamente a una compressione ma non oppongono resistenza al cambiamento di forma, che dipende dal recipiente.^[2]

Descrizione

 

Prova di trazione: curva tensione-deformazione. Dal punto 1 al punto 3 si ha comportamento elastico. Dal punto 1 al punto 2 è valida la legge di Hooke (comportamento lineare). Oltre il punto 3, detto limite elastico, si ha comportamento plastico del materiale

La sollecitazione massima che garantisce il comportamento elastico del materiale è detta limite di elasticità e, nel caso venga superata, si entra nella regione di comportamento plastico del pezzo, che consiste nel cedimento o nel flusso del materiale, a seconda che sia fragile o duttile rispettivamente^[3]. Il limite di elasticità trattandosi di una pressione è misurato in Pascal, ovvero una forza per unità di superficie:

${\displaystyle {\ce {Pa}}={\frac {{\ce {N}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg.m}}}{{\ce {s^2}}}}\times {\frac {{\ce {1}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg}}}{{\ce {s^2.m}}}}}$ 

Se il materiale è duttile, ovvero che permette plasticizzazioni, il limite elastico è la tensione di snervamento, mentre nel caso di materiali fragili, che sono privi del campo plastico, il limite elastico è la rottura del materiale^[1].

Il modello matematico più semplice di rappresentazione del comportamento elastico è quello lineare della legge di Hooke (e della legge di Hooke generalizzata nel caso di stati tensionali pluriassiali), che nel caso di stato di sforzo monoassiale tipico delle prove di trazione è: ${\displaystyle \sigma =E\epsilon }$  dove ${\displaystyle \sigma }$  è lo sforzo, ${\displaystyle \epsilon }$  la deformazione ed ${\displaystyle E}$  il modulo di Young (o elastico).

Tale modello riveste un aspetto fondamentale sia in ambito teorico, per la possibilità di pervenire ad uno studio matematico completo dei problemi formulati, sia in ambito ingegneristico, per la ricaduta che esso ha nella modellazione e risoluzione di problemi di interesse tecnico e scientifico. Altri più complessi modelli matematici di elasticità nonlineare, importanti per la rappresentazione del comportamento delle gomme, fanno riferimento al modello di materiale iperelastico, mentre per mezzi porosi il modello si declina nella poroelasticità.

Lo studio dei corpi solidi elastici è oggetto della teoria dell'elasticità, una branca della meccanica dei solidi.

Origine atomica del comportamento elastico

Le proprietà elastiche del materiale derivano dal tipo di interazione che si instaura fra i suoi atomi costituenti, quando questo è sottoposto ad un carico esterno. Se tali interazioni determinano un dislocamento degli atomi contenuto, questi riescono a rioccupare la loro posizione iniziale una volta rimosso il carico ed il materiale è detto elastico; se perdipiù il dislocamento è sufficientemente piccolo, è garantita la diretta proporzionalità fra deformazione e carico ed è valida pertanto la legge di Hooke^[4].

L'elasticità dipende quindi dalla struttura microscopica del materiale e dalle forze di interazione che agiscono fra gli atomi che lo compongono. In particolare va considerata l'energia potenziale esistente tra ogni coppia di atomi, che può essere espressa in funzione della loro distanza. A una certa distanza d₀ i due atomi sono in equilibrio, ossia la risultante delle forze di interazione tra i due è nulla. La variazione di tali forze (a causa della sollecitazione esterna) fa variare la distanza reciproca tra le particelle (producendo a livello macroscopico la deformazione del corpo: nel caso di trazione, per esempio, si ha uno "stiramento" dei legami). Per livelli relativamente bassi delle sollecitazioni, il lavoro meccanico necessario viene accumulato come energia elastica, all'interno del materiale, e viene restituito interamente al venir meno della causa sollecitante mentre le particelle ritornano alla loro posizione iniziale (il corpo riacquista la sua forma e dimensioni originarie). L'energia immagazzinata nel materiale è quantificabile dalla seguente relazione: ${\displaystyle E=\int _{0}^{\epsilon _{f}}\sigma (\epsilon )d\epsilon }$  che graficamente è rappresentata dall'area sottesa alla curva tensione-deformazione rappresentata in figura, dove ${\displaystyle \sigma (\epsilon )}$ è l'andamento dello sforzo in funzione della deformazione ${\displaystyle \epsilon }$ , ed ${\displaystyle \epsilon _{f}}$  è la deformazione finale che si raggiunge applicando il carico esterno^[5].

Questo meccanismo è alla base del comportamento elastico macroscopico dei diversi materiali, ma al variare del tipo di materiale, e dunque della struttura microscopica, si delineano comportamenti elastici differenti^[6].

Materiali cristallini

Nel caso di materiali metallici, il fitto reticolo cristallino permette solamente piccole deformazioni e spostamenti locali, da cui derivano l'alto limite di elasticità ed il grande modulo elastico. Questo comporta la necessità di esercitare elevate tensioni per ottenere deformazioni rilevanti. Nel caso in cui si rimanga al di sotto dello sforzo di snervamento del materiale, il rapporto tra sforzo e deformazione è pari alla costante modulo elastico o modulo di Young, che rappresenta la proporzionalità fra sforzo e deformazione nel campo lineare del materiale, descritta dalla legge di Hooke, e determina la pendenza del tratto rettilineo nel diagramma sforzo-tensione della prova monoassiale rappresentata in figura^[6][7].

Materiali non cristallini

Alcuni materiali, come vetri o polimeri reticolati, reagendo a livello microscopico alla deformazione con la resistenza dei legami chimici, si comportano in modo simile ai materiali cristallini e possono presentare elasticità lineare.^[6]

Altri materiali polimerici, come la gomma, essendo costituiti a livello microscopico da molecole a catena, permettono grandi scorrimenti e deformazioni, e pertanto sono caratterizzati da bassi limiti di elasticità e piccolo modulo di elasticità. Ciò significa che a sforzi e tensioni relativamente bassi corrispondono già deformazioni apprezzabili macroscopicamente, così come punti di snervamento o rottura molto bassi. Questi materiali sono detti elastomeri, con un comportamento cosiddetto ad "alta elasticità" rispetto alla "vera elasticità"^[6] dei cristallini. Inoltre, a causa del precoce stiramento delle catene, causato da un ulteriore allungamento quando queste sono già state allineate, gli elastomeri hanno un comportamento elastico non lineare.^[6]

Materiali cellulari

I materiali cellulari, come il legno, reagiscono in modo differente alla compressione e alla trazione. Grazie alla presenza di cavità nel materiale, la compressione mostra completa rigidità fino a quando le pareti di tali cavità non sono soggette a inflessione elastica, che permette di avere una notevole deformazione senza grande incremento di sforzo. Tali deformazioni inoltre, sono in gran parte recuperabili, ma una volta avvenute riportano il corpo a uno stato di rigidità, essendosi annullate le cavità. D'altra parte, queste non hanno la stessa influenza sulla trazione, che non permette la flessione elastica delle pareti nello stesso modo^[6].

Elasticità lineare del continuo

Deformazioni

Per studiarne il comportamento se sottoposti a sforzo, i materiali possono essere modellati come privi di struttura interna e costituiti da un continuo solido. Rappresentando il corpo in un sistema di riferimento cartesiano, si può indicare la posizione di ogni suo punto tramite il vettore posizione: ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ed il loro spostamento con il vettore ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})}$ . Il vettore spostamento descrive come si deforma il corpo sotto carico, infatti: ${\displaystyle dl={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$  è la distanza cartesiana fra due punti del corpo e ${\displaystyle dl'={\sqrt {(dx_{1}+du_{1})^{2}+(dx_{2}+du_{2})^{2}+(dx_{3}+du_{3})^{2}}}}$ è la stessa distanza dopo che il corpo si sia deformato ed è chiaramente funzione di ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ^[8]. Si introduce la grandezza ${\displaystyle \epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$  detta deformazione, che al variare di ${\displaystyle i,j=1,2,3}$  forma un tensore di rango 2, detto tensore delle deformazioni: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\epsilon _{11}&\epsilon _{12}&\epsilon _{13}\\\epsilon _{21}&\epsilon _{22}&\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}&\epsilon _{32}&\epsilon _{33}\end{pmatrix}}}$ dove i termini diagonali ${\displaystyle \epsilon _{ii}}$ con ${\displaystyle i=1,2,3}$  sono dette deformazioni normali e descrivono gli allungamenti o le contrazioni, le restanti ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ con ${\displaystyle i\neq j}$  sono detti scorrimenti e descrivono la variazione di forma, quindi degli angoli, rispetto al riferimento cartesiano^[8].

 

Tetraedro di Cauchy

Sforzi

Lo stato di sforzo è generalmente, e nella maggior parte dei casi, tridimensionale^[9]. Per studiarlo si sfrutta il Teorema di Cauchy ponendo una terna cartesiana sul punto ${\displaystyle O}$  sotto studio e tagliando il corpo con un piano inclinato di normale ${\displaystyle {\textbf {n}}}$  a distanza infinitesima ${\displaystyle h}$  da ${\displaystyle O}$ , che individua insieme ai tre piani di riferimento un tetraedro, detto di Cauchy, rappresentato in figura. La faccia di normale ${\displaystyle {\textbf {n}}}$ ha superficie pari a ${\displaystyle dA}$ , mentre le altre, di normale ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ , hanno superficie rispettivamente pari a ${\displaystyle n_{x}dA=dA_{1}}$ , ${\displaystyle n_{y}dA=dA_{2}}$ e ${\displaystyle n_{z}dA=dA_{3}}$ dove ${\displaystyle n_{x}}$ , ${\displaystyle n_{y}}$ e ${\displaystyle n_{z}}$ sono i coseni direttori di ${\displaystyle {\textbf {n}}}$ . Il generico sforzo agente sul piano di normale ${\displaystyle {\textbf {n}}}$  è ${\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} }$ , e sulle altre facce ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} }$ , ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} }$  e ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} }$ , che per convenzione sono considerati positivi se entranti e quindi il meno sta ad indicare che sono uscenti dal volume infinitesimo. Per studiare il generico stato di sforzo ${\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} }$ di un punto appartenente al corpo basta imporre l'equilibrio statico nel tetraedro (I equazione cardinale della statica):

${\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} dA-\mathbf {T^{(e_{1})}} dA_{1}-\mathbf {T^{(e_{2})}} dA_{2}-\mathbf {T^{(e_{3})}} dA_{3}=0}$ 

che nel caso siano noti i tre vettori ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} }$ , ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} }$  e ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} }$ si può determinare lo sforzo ${\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} }$ in qualsiasi punto del corpo.

Si possono ora proiettare tutti e tre i vettori ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} }$ , ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} }$  e ${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} }$ nelle tre direzioni ${\displaystyle x_{1}}$ , ${\displaystyle x_{2}}$ e ${\displaystyle x_{3}}$ ed il vettore ${\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} }$ nella direzione normale e tangenziale del piano di normale ${\displaystyle {\textbf {n}}}$ , ottenendo:

${\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {n} =\sigma _{n}\quad \mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {t} =\tau _{n}}$ 

${\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{2})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{3})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}}$ 

dove due delle tre componenti saranno tangenziali alla faccia di applicazione dello sforzo e la rimanente sarà normale alla faccia. Si compone infine il tensore degli sforzi, che descrive il generico stato di sforzo:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}}$ 

Densità di energia di deformazione

La densità di energia di deformazione è l'energia elastica immagazzinata dal materiale per unità di volume, e vale la relazione: ${\displaystyle \operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}}$ ovvero l'incremento della densità di energia di deformazione ${\displaystyle U}$ è pari al lavoro svolto dagli sforzi ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ per alterare le deformazioni ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ . Si ricava allora che: ${\displaystyle \sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}}$ ^[8].

La relazione ${\displaystyle \operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}}$  può essere espansa in serie con Taylor nell'intorno di ${\displaystyle U_{0}=0}$ nel caso di solido lineare e di stato iniziale scarico ed indeformato, ovvero con ${\displaystyle \epsilon _{ij,0}=\sigma _{ij,0}=0}$ , ottenendo:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\sum _{ijkl}c_{ijkl}\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}}$  alla quale se applichiamo ${\displaystyle \sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}}$  otteniamo la legge di Hooke generalizzata: ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\epsilon _{kl}}$  che nel caso di materiale isotropo diviene^[8]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}={\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{pmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&1-2\nu &0&0\\0&0&0&0&1-2\nu &0\\0&0&0&0&0&1-2\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}\\\epsilon _{12}\end{pmatrix}}}$ 

dove ${\displaystyle E}$  è il modulo elastico e ${\displaystyle \nu }$  è il coefficiente di Poisson.

Note

1. Encyclopaedia Britannica, Elasticity, su britannica.com. URL consultato il 14/05/2019.
2. ^ Elasticità nell'Enciclopedia Treccani, su treccani.it. URL consultato il 17/05/2019.
3. ^ William L. Hosch, Elastic limit, su britannica.com. URL consultato il 14/05/2019.
4. ^ A. Cottrell, Encyclopedia of Materials: Science and Technology, Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526. accesso richiede url (aiuto)
5. ^ William D. Callister e David G. Rethwisch, Scienza e Ingegneria dei Materiali, 8ª ed., John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241.
6. Wayne Hayden, William G. Moffatt e John Wulff, The structure and properties of materials - Vol.III Mechanical Behavior, traduzione di Dott. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Mechanical Behavior, John Wiley and Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.
7. ^ Alberto Taliercio, Introduzione alla Meccanica dei Solidi, 15 luglio 2014, pp. 90-91, DOI:10.15651/978-88-748-8778-1. URL consultato il 14 maggio 2019.
8. A. M. Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects, in Elsevier Science Ltd., 2001.
9. ^ Costruzione di macchine, McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080.

Bibliografia

• A. Cottrell, Encyclopedia of Materials: Science and Technology, Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526. accesso richiede url (aiuto)
• William D. Callister e David G. Rethwisch, Scienza e Ingegneria dei Materiali, 8ª ed., John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241.
• Wayne Hayden, William G. Moffatt e John Wulff, The structure and properties of materials - Vol.III Mechanical Behavior, traduzione di Dott. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Mechanical Behavior, John Wiley and Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.
• Costruzione di macchine, McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080.
• Encyclopaedia Britannica, Elasticity, su britannica.com. URL consultato il 14/05/2019.
• William L. Hosch, Elastic limit, su britannica.com. URL consultato il 14/05/2019.
• Alberto Taliercio, Introduzione alla Meccanica dei Solidi, 15 luglio 2014, pp. 90-91, DOI:10.15651/978-88-748-8778-1.
• A. M. Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects, in Elsevier Science Ltd., 2001.

Voci correlate

• Poroelasticità
• Legge di Hooke
• Teoria dell'elasticità
• Relazione costitutiva (meccanica)
• Plasticità (fisica)

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Collegamenti esterni

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