Funzione differenziabile

Il concetto di funzione differenziabile è una nozione su cui si fondano l'analisi matematica e la geometria differenziale. È la generalizzazione in più variabili del concetto di funzione derivabile.

L'idea è quella di una funzione tale che se si fa uno zoom a scale sempre più piccole del grafico della funzione nelle vicinanze di qualsiasi punto la funzione tende a somigliare sempre più ad una trasformazione affine ed il grafico ad un sottospazio affine. Più precisamente quello che si richiede ad una funzione per essere differenziabile è di essere approssimabile nell'intorno di ogni punto con una funzione lineare. La differenziabilità di una funzione permette di definire per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere "differenziabile ${\displaystyle k}$ volte": più volte una funzione è differenziabile, e più il suo grafico è "liscio" e regolare. Si parla in questo caso di funzione di classe ${\displaystyle C^{k}}$. Una funzione "differenziabile infinite volte" è detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi ${\displaystyle C^{k}}$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica come in geometria differenziale queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine funzione differenziabile per definire una funzione liscia.

Cenni preliminari

Prima di dare una definizione rigorosa del differenziale di una funzione, facciamo qualche considerazione intuitiva di tipo fisico e geometrico.

Supponiamo di avere una grandezza scalare s definita su uno spazio euclideo ${\displaystyle V=E^{n}}$  su campo reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Ad ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  di V corrisponde pertanto uno scalare s, secondo una funzione:

${\displaystyle f:E^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ 

${\displaystyle f:{\bar {v}}\rightarrow s}$ 

${\displaystyle s=f(\mathbf {v} )}$ 

La grandezza s è dunque ciò che in fisica viene chiamato un campo scalare, e la funzione f descrive matematicamente tale campo.

Intuitivamente se la funzione f è abbastanza "regolare" nell'intorno di un certo vettore ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$  nell'intorno di quel vettore dovrebbe essere possibile definire una relazione che simbolicamente potrebbe essere resa nel modo seguente:

${\displaystyle ds={\frac {ds}{d\mathbf {v} }}d\mathbf {v} }$ 

dove compare l'oggetto ${\displaystyle ds/{d\mathbf {v} }}$ , che - sebbene non sia ancora stato definito - possiamo genericamente chiamare "rapporto incrementale fra uno scalare e un vettore".

Si tratta ora di definire in modo rigoroso quella relazione simbolica.

Innanzi tutto, visto che ${\displaystyle d\mathbf {v} }$  è un vettore e ds è uno scalare, al secondo membro avremo il prodotto fra due oggetti di cui uno è un vettore, il quale prodotto dovrà dare uno scalare. Si tratterà dunque di un prodotto scalare:

${\displaystyle ds={\frac {ds}{d\mathbf {v} }}\cdot d\mathbf {v} }$ 

e l'oggetto che abbiamo indicato con ${\displaystyle ds/{d\mathbf {v} }}$  dovrà pertanto essere un vettore.

Scrivendo esplicitamente la grandezza scalare s come funzione dei vettori di V, tale relazione diventa:

${\displaystyle df(\mathbf {v_{0}} )={\frac {df}{d\mathbf {v} }}(\mathbf {v_{0}} )\cdot d\mathbf {v} }$ 

dove compare l'oggetto ${\displaystyle df/{d\mathbf {v} }(\mathbf {v_{0}} )}$ , che possiamo genericamente chiamare "derivata (totale) di f rispetto a ${\displaystyle \mathbf {v} }$  calcolata nel punto ${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$ ".

Dal momento che tale grandezza deve essere un vettore di V, bisogna che ${\displaystyle df/{d\mathbf {v} }}$  sia una funzione che ad ogni vettore di V associa un altro vettore:

${\displaystyle {\frac {df}{d\mathbf {v} }}:E^{n}\rightarrow E^{n}}$ 

ed è quindi quello che in fisica chiameremmo un campo vettoriale.

Possiamo anche descrivere tutto ciò affermando che ${\displaystyle d/{d\mathbf {v} }}$  è un operatore che trasforma un campo scalare f in un campo vettoriale ${\displaystyle df/{d\mathbf {v} }}$ .

A questo punto possiamo cercare di dare una definizione matematica di questo oggetto. Infatti, come è noto e come è espresso anche dalla relazione formale che abbiamo scritto, il differenziale di una funzione corrisponde alla parte lineare della sua variazione. Dunque dovremo avere:

${\displaystyle f(\mathbf {v_{0}} +\mathbf {h} )=f(\mathbf {v_{0}} )+df(\mathbf {v_{0}} )\cdot \mathbf {h} +O(|\mathbf {h} |^{2})}$ 

A questo punto possiamo esplicitare il modulo di ${\displaystyle \mathbf {h} }$  e passare al limite:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \lim_{|\mathbf{h}| \to 0} \frac { f(\mathbf{v_0} + | \mathbf{h} | \hat{\mathbf{h}} ) - f(\mathbf{v_0}) {| \mathbf{h} |} =}

${\displaystyle \lim _{|\mathbf {h} |\to 0}{\frac {{\frac {df}{d\mathbf {v} }}(\mathbf {v_{0}} )\cdot |\mathbf {h} |{\hat {\mathbf {h} }}}{|\mathbf {h} |}}={\frac {df}{d\mathbf {v} }}(\mathbf {v_{0}} )\cdot {\hat {\mathbf {h} }}}$ 

Definizione

Sia ${\displaystyle U}$  un aperto dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Una funzione

${\displaystyle F:U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 

è differenziabile in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  di ${\displaystyle U}$  se esiste una applicazione lineare

${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 

(dipendente dal punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ) tale che

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A(\mathbf {h} )}{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}=\mathbf {0} }$ 

(i caratteri in grassetto rappresentano vettori); in questo caso l'applicazione ${\displaystyle A}$  si indica con la scrittura ${\displaystyle DF(\mathbf {x} _{0})}$  e si chiama differenziale di ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ .

Matrice Jacobiana

L'applicazione lineare ${\displaystyle DF(\mathbf {x} _{0})}$  è rappresentata da una matrice ${\displaystyle n\times m}$  chiamata matrice jacobiana di ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ .

A seconda delle dimensioni ${\displaystyle m}$  e ${\displaystyle n}$ , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se ${\displaystyle m=1}$ , la matrice associata a ${\displaystyle DF(\mathbf {x} _{0})}$  è un vettore ${\displaystyle n}$ -dimensionale, chiamato gradiente di ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ . Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se ${\displaystyle n=1}$ , la funzione ${\displaystyle F}$  parametrizza una curva in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ , il suo differenziale è una funzione che (se non è costante) definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se ${\displaystyle m=n=1}$ , la differenziabilità coincide con la derivabilità e la matrice jacobiana è in realtà un numero, pari alla derivata.

Osservazioni

Abbiamo detto che una funzione differenziabile intuitivamente dovrebbe essere tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. Tuttavia ciò non sembra evidente dalla definizione che abbiamo dato. Vediamo come sia possibile formalizzare quest'idea intuitiva e dimostrare che coincide (con un po' di sforzo) con la definizione di differenziabilità.

Possiamo immaginare ora che la trasformazione affine con cui potremmo approssimare ${\displaystyle F}$  in un intorno di ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è la funzione

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto F(\mathbf {x} _{0})+DF(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})}$ .

Consideriamo un intorno di ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  di raggio ${\displaystyle \delta }$ . Quando ingrandiamo il grafico di ${\displaystyle F}$  in modo che l'intorno ci appaia di raggio ${\displaystyle 1}$  la distanza che vediamo tra la funzione ${\displaystyle F}$  e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} }$  è pari a

${\displaystyle {\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}}$ 

dove la divisione per ${\displaystyle \delta }$  corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è

${\displaystyle \sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}}$ ,

ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione che abbiamo dato per la differenziabilità di ${\displaystyle F}$  si deduce che

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}=0}$ ,

il che significa che quello che vediamo ingrandendo progressivamente il grafico di ${\displaystyle F}$  e della sua approssimazione affine intorno a ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è che questi tendono a coincidere. Viceversa la relazione che abbiamo scritto implica direttamente la differenziabilità di ${\displaystyle F}$ .

Differenziabilità e continuità

Una funzione differenziabile in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è automaticamente continua in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ . Infatti

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})=\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}+{A\mathbf {h} }=\mathbf {0} }$ 

per la definizione data di funzione differeziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

Differenziabilità e derivate parziali

Se ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$  è una funzione differenziabile in x₀, allora essa ammette tutte le derivate parziali in x₀.

Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in x₀ garantisca anche la differenziabilità in x₀. Ad esempio la funzione reale di due variabili reali

${\displaystyle F(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&(x,y)=(0,0)\\{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}&(x,y)\neq (0,0)\end{matrix}}\right.}$ 

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che non sia continua in (0,0) impedisce la sua differenziabilità in (0,0).

Tuttavia se F è di classe C¹ in un intorno di x₀, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono funzioni continue, allora F è differenziabile in x₀. Vale quindi, se ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$  è aperto,

${\displaystyle F\in C^{1}(\Omega )\quad \Rightarrow \quad F{\mbox{ differenziabile in }}\Omega \quad \Rightarrow \quad F\in C^{0}(\Omega )}$ .

Voci correlate

• Derivata
• Derivata direzionale
• Gradiente
• Matrice jacobiana