利用者:偏微分演算子/sandbox

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テンソル解析において混合テンソル（こんごうテンソル　英: Mixed tensor）または、混テンソルもしくは混合形とは、テンソルの添字が全て上にある共変テンソルと、添え字が全て下にある反変テンソルと同じ様に、添え字が上にも下にもあるテンソルのことを言う。

定義

反変テンソルは、その行列の成分が座標変換によって次のような変換規則に従う${\displaystyle a^{'ij}={\partial x^{'i} \over \partial x^{k}}{\partial x^{'j} \over \partial x^{l}}a^{kl}}$ を定義するが、共変テンソルも同様に、${\displaystyle b_{ij}^{'}={\partial x^{k} \over \partial x^{'i}}{\partial x^{l} \over \partial x^{'j}}b_{kl}}$ であり、この二つの変換則が合わさったものも存在し、${\displaystyle c_{j}^{'i}={\partial x^{'i} \over \partial x^{k}}{\partial x^{l} \over \partial x^{'j}}c_{l}^{k}}$ これを混合テンソルという。そして、混合テンソルは反変テンソルと共変テンソルの組み合わせでも表せることができる。${\displaystyle c_{j}^{i}=s^{i}t_{j}}$ 。^[1]混合テンソルは、一般に、${\displaystyle A_{k}^{i}}$ と書く。そして一般に、${\displaystyle A_{k}^{i}}$ と${\displaystyle A_{i}^{k}}$ は区別する。^[2]

計量テンソル

計量テンソルの混合成分は定義から、${\displaystyle g_{i}^{'j}=e_{i}\centerdot e^{j}}$ であるが、双対基底の性質により、${\displaystyle e_{i}\centerdot e^{j}=\delta _{i}^{j}}$ であるから、常にクロネッカーのデルタと等しくなるので、${\displaystyle g_{i}^{'j}=e_{i}\centerdot e^{j}=\delta _{i}^{j}}$ である。^[3]

関連項目

• リッチテンソル
• 計量テンソル
• 対称テンソル
• 反対称テンソル

出典

1. ^ “EMANの物理学”. 2025年9月9日閲覧。
2. ^ ランダウ・リフシッツ　場の古典論. 東京図書株式会社. ISBN 978-4-489-01161-0 
3. ^ “物理のかぎしっぽ”. 2025年9月15日閲覧。

テンソル
テンソル理論の用語集（英語版）
範囲 (Scope)	数学 座標 多重線型代数 ユークリッド幾何学 テンソル代数 微分幾何学 外微分 テンソル解析 物理学 • 工学 連続体力学 電磁気学 移動現象論 一般相対性理論 コンピュータビジョン
表記法 (Notation)	添字表記法 多重指数 アインシュタインの縮約記法 リッチ計算法（英語版） ペンローズのグラフ記法 フォークト表記 抽象添字記法 テトラド表記（英語版） ファン・デル・ヴェルデン表示
テンソルの定義	テンソル空間 テンソル場 テンソル密度（英語版） 曲線座標系におけるテンソル（英語版） 混合テンソル 反対称テンソル 対称テンソル テンソル作用素（英語版） テンソル束（英語版）
算法	テンソル積 楔積 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置 添字の上げ下げ（英語版） ホッジ双対 共変微分 外微分 共変外微分（英語版） リー微分 単位テンソル 零テンソル
関連事項	次元 基底 ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル（英語版） ベクトルの共変性と反変性 線型写像 行列 スピノール カルタン形式 微分形式 接続形式 測地線 多様体 ファイバー束 曲率形式 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
有名なテンソル	数学 クロネッカーのデルタ エディントンのイプシロン 計量テンソル クリストッフェル記号 リッチテンソル リーマン曲率テンソル ワイルテンソル（英語版） 捩率テンソル 物理学 慣性モーメント 角運動量 応力テンソル エネルギー・運動量テンソル 電磁場テンソル グルーオン場の強度テンソル アインシュタインテンソル 計量テンソル (一般相対論)
数学者	レオンハルト・オイラー カール・フリードリヒ・ガウス オーギュスタン＝ルイ・コーシー ヘルマン・グラスマン グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ ヤン・アルノルドゥス・スカウテン（英語版） ベルンハルト・リーマン エルヴィン・クリストッフェル ヴォルデマール・フォークト エリ・カルタン ヘルマン・ワイル アルベルト・アインシュタイン
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