Meccanica hamiltoniana

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In fisica e matematica, in particolare nella meccanica razionale e nell'analisi dei sistemi dinamici, la meccanica hamiltoniana è una riformulazione della meccanica classica introdotta nel 1833 da William Rowan Hamilton a partire dalla meccanica lagrangiana, descritta inizialmente da Joseph-Louis Lagrange nel 1788.

La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria (a variazione nulla) una quantità astratta detta azione, un funzionale definito come l'integrale nel tempo della lagrangiana. Solitamente questo equivale a minimizzare l'energia del sistema dinamico considerato, che è la somma dell'energia potenziale più l'energia cinetica.

La meccanica hamiltoniana, operando una differente scelta di coordinate per generare lo spazio delle fasi, riscrive le equazioni del moto di Eulero-Lagrange, che erano alla base della descrizione di Lagrange, nella forma di equazioni di Hamilton e fa corrispondere all'energia totale del sistema una funzione scalare detta hamiltoniana. Le trasformazioni che lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton sono inoltre dette trasformazioni canoniche, e sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali; è una tecnica utilizzata ad esempio dalla teoria delle perturbazioni.

La meccanica hamiltoniana introduce un formalismo che sta alla base della meccanica quantistica e della meccanica statistica, consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica (si veda il teorema di Liouville).

Dalla meccanica lagrangiana alla meccanica hamiltoniana

Nella descrizione lagrangiana, le coordinate del sistema dinamico nello spazio degli stati, usate per identificare un punto materiale in moto, sono le sue coordinate generalizzate ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$  e le corrispondenti velocità generalizzate ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{n})}$ , dove il punto denota la derivata totale temporale. Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla funzione:

${\displaystyle \mathbf {\ddot {q}} =\mathbf {f} (\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$ 

In coordinate cartesiane, se il moto è senza vincoli tale scrittura coincide con l'equazione di Newton:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {\ddot {x}} }$ 

con ${\displaystyle \mathbf {q} \equiv \mathbf {x} }$  e ${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {F} /m}$ , dove ${\displaystyle \mathbf {F} }$  la forza e ${\displaystyle m}$  la massa del punto.

L'equazione del moto nello spazio degli stati sono le equazioni di Eulero-Lagrange:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0}$ 

dove ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-U(\mathbf {q} ,t)}$  è la lagrangiana, differenza tra l'energia cinetica ${\displaystyle T}$  e energia potenziale ${\displaystyle U}$ .

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana per la costruzione dello spazio delle fasi utilizza un diverso sistema di coordinate, dette coordinate canoniche, nel quale alle coordinate generalizzate ${\displaystyle \mathbf {q} }$  vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$ , i momenti coniugati ${\displaystyle \mathbf {p} }$ . Il momento coniugato alla coordinata ${\displaystyle q_{i}}$  di un corpo in moto è la derivata parziale:

${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}}$ 

ovvero:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}}$ 

Lo spazio delle coppie ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$  è lo spazio delle fasi. In coordinate cartesiane la definizione di momento coniugato, che è valida per un più generico sistema di coordinate, è equivalente (per un punto materiale di massa ${\displaystyle m}$ ) alla quantità di moto:

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {\dot {x}} }$ 

Nelle nuove coordinate ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$  le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma compatta:

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}}$ 

ovvero:

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}}$ 

Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton

La trasformata di Legendre della lagrangiana, nelle coordinate canoniche ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ , è l'hamiltoniana:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ 

con ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ . Nel caso particolarmente importante di sistema dinamico con vincoli indipendenti dal tempo, l'hamiltoniana coincide con l'energia totale del sistema, ed è pertanto la somma tra l'energia cinetica e potenziale:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+U}$ 

con l'energia cinetica espressa in generale da:

${\displaystyle T={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ 

Analizzare l'evoluzione temporale del sistema a partire da ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  coinvolge le equazioni di Hamilton:^[1][2][3]

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\qquad {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}}$ 

una riscrittura delle equazioni di Eulero-Lagrange. A partire da esse vengono quindi scritte le equazioni del moto nel modello hamiltoniano. Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a ${\displaystyle \mathbf {p} }$  e ${\displaystyle \mathbf {q} }$  (scambiare ${\displaystyle \pm \mathbf {q} }$  con ${\displaystyle \mp \mathbf {p} }$  le lascia invariate).

In meccanica quantistica la funzione hamiltoniana è particolarmente importante ed è chiamata operatore hamiltoniano, al quale si fa corrispondere l'osservabile energia (ad esempio l'energia di particelle subatomiche o sistemi di particelle).

Sistema dinamico hamiltoniano

  Lo stesso argomento in dettaglio: Campo vettoriale hamiltoniano.

La meccanica hamiltoniana, interessandosi di oggetti in moto, rientra nell'ambito dell'analisi dei sistemi dinamici, con la quale condivide il formalismo matematico. Le equazioni di Hamilton hanno del resto la forma caratteristica di un sistema dinamico continuo:

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {v} (\mathbf {x} )\qquad \mathbf {x} =(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2n}}$ 

con ${\displaystyle \mathbf {v} }$  un campo vettoriale nello spazio delle fasi, anche nel caso in cui le coordinate ${\displaystyle \mathbf {q} }$  non sono ortogonali ma sono ad esempio polari o cilindriche. Al campo ${\displaystyle \mathbf {v} }$  è associata l'hamiltoniana ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ , ovvero:

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )=E\,\nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )}$ 

dove:

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\end{bmatrix}}}$ 

è la matrice simplettica standard e ${\displaystyle \nabla }$  è il gradiente:

${\displaystyle \nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )=\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x_{1}}}\cdots {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x_{2n}}}\right)\equiv \left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{1}}}\cdots {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{n}}}\right)}$ 

Il campo ${\displaystyle \mathbf {v} }$  così definito è il campo vettoriale hamiltoniano, ed è solenoidale (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ ). L'importanza della scelta delle coordinate ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ , invece che quelle lagrangiane ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )}$ , è legata al fatto che - per come sono definite - le coordinate canoniche si comportano in un certo senso come coordinate cartesiane ortogonali. Difatti, per una arbitraria scelta delle ${\displaystyle \mathbf {q} }$  (ad esempio, polari o cilindriche), utilizzando i momenti coniugati ${\displaystyle \mathbf {p} =\partial {\mathcal {L}}/\partial \mathbf {\dot {q}} }$  il sistema dinamico ha ancora la forma ${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =E\,\nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )}$ . Ciò consente alle equazioni di Hamilton di avere una struttura particolarmente simmetrica.

Costanti del moto

  Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale primo e Teorema di Noether.

Un integrale primo del moto per un sistema dinamico con hamiltoniana ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  è una quantità ${\displaystyle f(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$  definita sullo spazio delle fasi il cui valore rimane costante:

${\displaystyle {\dot {f}}=0}$ 

lungo le soluzioni dell'equazione del moto ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {v} (\mathbf {x} )}$  del sistema. Si ricava con brevi manipolazioni matematiche che la derivata totale ha la particolare forma:

${\displaystyle {\dot {f}}={\partial f \over \partial t}+\mathbf {v} \cdot \nabla f}$ 

dove:

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )=E\,\nabla {\mathcal {H}}(\mathbf {x} )}$ 

è il campo vettoriale hamiltoniano definito sopra.

Utilizzando la parentesi di Poisson di ${\displaystyle f}$  con l'hamiltoniana la precedente si può scrivere in modo esplicito come:

${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+\{{\mathcal {H}},f\}=0}$ 

ovvero:

${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+\sum _{i=1}^{n}\left[{\partial {\mathcal {H}} \over \partial q_{i}}{\partial f \over \partial p_{i}}-{\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{i}}{\partial f \over \partial q_{i}}\right]=0}$ 

Nello specifico, se ${\displaystyle f}$  non dipende dal tempo allora ${\displaystyle \{{\mathcal {H}},f\}=0}$  se e solo se ${\displaystyle f}$  è un integrale primo del moto.

Derivazione delle equazioni di Hamilton

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Hamilton.

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare considerando il differenziale della lagrangiana:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$ 

Sostituendo ${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}}$ :

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$ 

che, sfruttando la relazione ${\displaystyle \mathrm {d} \left(p_{i}{{\dot {q}}_{i}}\right)={{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}+p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}}$ , si può riscrivere come:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{{\dot {q}}_{i}}\right)-{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$ 

Riorganizzando i termini:

${\displaystyle \mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{{\dot {q}}_{i}}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$ 

Il membro di sinistra è l'hamiltoniana, quindi si ha:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$ 

Scrivendo allora il differenziale di ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  direttamente rispetto al tempo (come fatto per ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ):

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$ 

Dal momento che le ultime due relazioni devono essere uguali si ha, uguagliando i termini:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\qquad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}\qquad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}}$ 

dove la seconda relazione è una delle due equazioni di Hamilton; l'altra equazione di Hamilton si ricava dalla prima relazione sfruttando le equazioni di Eulero-Lagrange:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}$ 

in modo che diventi:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p_{i}}$ 

Note

1. ^ Fitzpatrick, R., 2.7 Poincaré invariants (PDF), pp. 26-27. URL consultato il 27 ottobre 2014 (archiviato dall'url originale il 26 ottobre 2014).
2. ^ L.N. Hand, J.D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
3. ^ Roger Penrose, The Road to Reality, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

Bibliografia

• Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
• V. Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità (dispense Università di Trento).
• G. Andreassi, Meccanica Hamiltoniana classica Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce, 14/1978.
• (EN) Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
• (EN) Edmund T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies (Cambridge University Press, 1917)
• (EN) William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
• (EN) Arthur Gordon Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (Teubner, 1904)

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Calcolo delle variazioni
• Equazioni di Hamilton
• Lagrangiana
• Meccanica classica
• Meccanica lagrangiana
• Operatore hamiltoniano
• Parentesi di Poisson
• Principio variazionale di Hamilton
• Sistema dinamico
• Teorema di Noether
• Teoria di Hamilton-Jacobi
• Trasformazione canonica

Collegamenti esterni

• Andrea Carati, Luigi Galgani - Le equazioni di Hamilton e lo spazio delle fasi (PDF), su mat.unimi.it.
• (EN) Rychlik, Marek, "Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction"
• (EN) Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
• (EN) Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)
• (EN) M. Tuckerman - The Hamiltonian formulation of classical mechanics, su nyu.edu.

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