Teorema di non-comunicazione

In fisica, il teorema di non comunicazione noto anche come principio di non segnalazione quantistica è un "no-go theorem" dalla teoria dell'informazione quantistica che afferma che, durante la misurazione di uno stato entanglement quantistico, non è possibile per un osservatore macroscopico, misurando un sottosistema dello stato totale, comunicare informazioni a un altro osservatore in modo istantaneo (cioè a velocità maggiore di quella della luce). Il teorema è importante perché, nella meccanica quantistica, l'entanglement quantistico è un effetto mediante il quale determinati eventi ampiamente separati possono essere correlati in modi che suggeriscono la possibilità di comunicazione istantanea. Il teorema di non comunicazione fornisce condizioni in cui tale trasferimento di informazioni tra due osservatori è impossibile. Questi risultati possono essere applicati per comprendere i cosiddetti paradossi della meccanica quantistica, come il paradosso di EPR, o le violazioni del realismo locale ottenute nel teorema di Bell. In questi esperimenti, il teorema di non-comunicazione mostra che il fallimento del realismo locale non porta a quella che potrebbe essere definita "comunicazione spettrale a distanza".

Formulazione

La dimostrazione del teorema è comunemente illustrata dall'impostazione dei test di Bell in cui due osservatori Alice e Bob eseguono osservazioni locali su un sistema bipartito comune e usano il meccanismo statistico della meccanica quantistica, vale a dire gli stati di densità e le operazioni quantistiche.^[1]

Alice e Bob eseguono misurazioni sul sistema S il cui spazio di Hilbert è

${\displaystyle H=H_{A}\otimes H_{B}.}$ Si presume inoltre che tutto sia a dimensione finita per evitare problemi di convergenza. Lo stato del sistema composito è dato da un operatore di densità su H. Qualsiasi operatore di densità σ su H è una somma della forma:

${\displaystyle \sigma =\sum _{i}T_{i}\otimes S_{i}}$ 

where T_i and S_i are operators on H_A and H_B respectively. For the following, it is not required to assume that T_i and S_i are state projection operators: i.e. they need not necessarily be non-negative, nor have a trace of one. That is, σ can have a definition somewhat broader than that of a density matrix; the theorem still holds. Note that the theorem holds trivially for separable states. If the shared state σ is separable, it is clear that any local operation by Alice will leave Bob's system intact. Thus the point of the theorem is no communication can be achieved via a shared entangled state.

Alice performs a local measurement on her subsystem. In general, this is described by a quantum operation, on the system state, of the following kind

dove T_i e S_i sono operatori rispettivamente di H_A e H_B. Per quanto segue, non è necessario supporre che T_i e S_i siano operatori di proiezione di stato: cioè non devono necessariamente essere non negativi, né avere una traccia di uno. Cioè, σ può avere una definizione leggermente più ampia di quella di una matrice di densità; il teorema regge ancora. Si noti che il teorema vale banalmente per stati separabili. Se lo stato condiviso σ è separabile, è chiaro che qualsiasi operazione locale di Alice lascerà intatto il sistema di Bob. Quindi il punto del teorema è che nessuna comunicazione può essere raggiunta attraverso uno stato intricato condiviso. Alice esegue una misurazione locale sul suo sottosistema. In generale, ciò è descritto da un'operazione quantistica, sullo stato del sistema, del seguente tipo

${\displaystyle P(\sigma )=\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\ \sigma \ (V_{k}\otimes I_{H_{B}}),}$ 

where V_k are called Kraus matrices which satisfy

dove V_k sono chiamate matrici di Kraus che soddisfano

${\displaystyle \sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}=I_{H_{A}}.}$ 

Il termine

${\displaystyle I_{H_{B}}}$ 

dall'espressione

${\displaystyle (V_{k}\otimes I_{H_{B}})}$ 

significa che l'apparato di misurazione di Alice non interagisce con il sottosistema di Bob.

Supponendo che il sistema combinato sia preparato nello stato σ e ipotizzando, a fini di discussione, una situazione non relativistica, immediatamente (senza alcun ritardo) dopo che Alice ha eseguito la sua misurazione, lo stato relativo del sistema di Bob è dato dalla traccia parziale del stato generale rispetto al sistema di Alice. Nei simboli, lo stato relativo del sistema di Bob dopo l'operazione di Alice è

${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))}$ dov ${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}}$ è la mappatura della traccia parziale rispetto al sistema di Alice.

Si può calcolare direttamente questo stato:

${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\sigma (V_{k}\otimes I_{H_{B}})\right)}$ 

${\displaystyle =\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}\sum _{i}V_{k}^{*}T_{i}V_{k}\otimes S_{i}\right)}$ 

${\displaystyle =\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (V_{k}^{*}T_{i}V_{k})S_{i}}$ 

${\displaystyle =\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (T_{i}V_{k}V_{k}^{*})S_{i}}$ 

${\displaystyle =\sum _{i}\operatorname {tr} \left(T_{i}\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}\right)S_{i}}$ 

${\displaystyle =\sum _{i}\operatorname {tr} (T_{i})S_{i}}$ 

${\displaystyle =\operatorname {tr} _{H_{A}}(\sigma ).}$ Da ciò si sostiene che, statisticamente, Bob non può dire la differenza tra ciò che Alice ha fatto e una misurazione casuale (o se ha fatto qualcosa).

Note

1. ^ Peres, A. and Terno, D., Quantum Information and Relativity Theory, in Rev. Mod. Phys., vol. 76, n. 1, 2004, pp. 93–123, Bibcode:2004RvMP...76...93P, DOI:10.1103/RevModPhys.76.93, arXiv:quant-ph/0212023.

Bibliografia

• (EN) Hall, M.J.W. Imprecise measurements and non-locality in quantum mechanics, Phys. Lett. A (1987) 89-91
• (EN) Ghirardi, G.C. et al. Experiments of the EPR Type Involving CP-Violation Do not Allow Faster-than-Light Communication between Distant Observers, Europhys. Lett. 6 (1988) 95-100
• (EN) Florig, M. and Summers, S. J. On the statistical independence of algebras of observables, J. Math. Phys. 38 (1997) 1318- 1328
• (EN) Peres, A. and Terno, D. Quantum Information and Relativity Theory, Rev. Mod. Phys. 76, 93 (2004), arXiv quant-ph/0212023
• (EN) Zeilinger, A. Experiment and the foundations of quantum physics Rev. Mod. Phys. 71, S288 (1999).

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