Distribuzione di Poisson

In teoria delle distribuzioni la distribuzione di Poisson (o poissoniana) è una discreta utilizzata estesamente in statistica. In teoria delle probabilità, vale per gli eventi che si verificano in succession, ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo. Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come ad esempio in una mattinata lavorativa. La legge degli eventi rari in probabilità afferma che eventi rari si distribuiscono in una curva poissoniana.

Distribuzione di Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle a>0\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {N} }$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {a^{n}}{n!}}e^{-a}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle {\frac {\Gamma (n+1,a)}{n!}}}$ (dove ${\displaystyle \Gamma (x,y)}$ è la funzione gamma incompleta)
Valore atteso	${\displaystyle a\ }$
Mediana	circa ${\displaystyle \left[a+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50a}}\right]}$
Moda	${\displaystyle [a]\ }$ sia ${\displaystyle a}$ che ${\displaystyle a-1}$ se ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$
Varianza	${\displaystyle a}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$
Entropia	${\displaystyle a-a\log a+e^{-a}\sum {\frac {a^{n}\log(n!)}{n!}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle e^{a(e^{t}-1)}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle e^{a(e^{it}-1)}}$

Prende il nome dal matematico francese Siméon-Denis Poisson.

Definizione

La distribuzione di Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{a}(n)}$  è una distribuzione di probabilità discreta data da

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{a}(n)={\frac {a^{n}}{n!}}e^{-a}}$  per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ,

dove ${\displaystyle a}$  è il numero medio di eventi per intervallo di tempo, mentre ${\displaystyle n}$  è il numero di eventi per intervallo di tempo (lo stesso col quale si misura ${\displaystyle a}$ ) di cui si vuole la probabilità.

Dallo sviluppo in serie dell'esponenziale ${\displaystyle e^{a}=\sum {\frac {a^{n}}{n!}}}$  si trova ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=1}$ .

Convergenza

La distribuzione di Poisson può essere ottenuta come limite delle distribuzioni binomiali ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n,p)}$ , con ${\displaystyle a=np}$ , ovvero si ha una convergenza in legge di ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n,a/n)}$  a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$ . Per questa convergenza la distribuzione di Poisson è anche nota come legge (di probabilità) degli eventi rari.

In statistica si adotta l'approssimazione della distribuzione binomiale tramite la distribuzione di Poisson quando n>20 e p<1/20, o preferibilmente quando n>100 e np<10.

Caratteristiche

Una variabile aleatoria Y di distribuzione di Poisson ha

• valore atteso

${\displaystyle E[Y]=\sum n{\frac {a^{n}}{n!}}e^{-a}=ae^{-a}\sum {\frac {a^{n-1}}{(n-1)!}}=a}$ 

• varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(Y)=E[Y^{2}]-E[Y]^{2}=\sum n^{2}{\frac {a^{n}}{n!}}e^{-a}-a^{2}=\sum n(n-1){\frac {a^{n}}{n!}}e^{-a}+\sum n{\frac {a^{n}}{n!}}e^{-a}-a^{2}=a^{2}+a-a^{2}=a}$ 

(Riscriviamo ${\displaystyle n^{2}}$  come ${\displaystyle n(n-1)+n}$ )

• funzione generatrice dei momenti

${\displaystyle g(t,Y)=E[e^{tY}]=e^{-a}\sum {\frac {a^{n}e^{tn}}{n!}}=e^{-a}e^{ae^{t}}=e^{a(e^{t}-1)}}$ 

• indici di antisimmetria (in inglese: skewness) e di curtosi

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {a}}}}$ , ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {1}{a}}}$ 

• entropia

${\displaystyle a-a\log a+e^{-a}\sum {\frac {a^{n}\log(n!)}{n!}}}$ 

che ha un andamento ${\displaystyle {\frac {1+\log(2\pi )}{2}}\ +\ {\frac {1}{2}}\log a\ -\ {\frac {1}{12}}a^{-1}\ -\ {\frac {1}{24}}a^{-2}\ -\ {\frac {19}{360}}a^{-3}\ +\ O(a^{-4})}$ 

Proprietà

Se ${\displaystyle Y_{1}}$  e ${\displaystyle Y_{2}}$  sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri ${\displaystyle a_{1}}$  e ${\displaystyle a_{2}}$  rispettivamente, allora

• la loro somma ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2}}$  segue ancora una distribuzione di Poisson, di parametro ${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}}$ ;
• la distribuzione di ${\displaystyle Y_{1}}$  condizionata da ${\displaystyle Y=n}$  è la distribuzione binomiale di parametri ${\displaystyle a_{1}/a}$  e ${\displaystyle n}$ .

Più in generale, la somma ${\displaystyle Y=Y_{1}+...+Y_{n}}$  di n variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$  segue una distribuzione di Poisson di parametro ${\displaystyle a=a_{1}+...+a_{n}}$ , mentre la distribuzione di ${\displaystyle Y_{1}}$  condizionata da ${\displaystyle Y=n}$  è la distribuzione binomiale di parametri ${\displaystyle a_{1}/a}$  e ${\displaystyle n}$ .

Distribuzioni collegate

Se la distribuzione di Poisson di parametro ${\displaystyle a}$  descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo, il tempo di attesa tra due eventi successivi è descritto dalla distribuzione esponenziale di parametro ${\displaystyle a}$ .

La distribuzione di Skellam è definita come la distribuzione della differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzioni di Poisson.

La mistura di distribuzioni tra la distribuzione di Poisson e la distribuzione Gamma (che governa il parametro ${\displaystyle a}$ ) è la distribuzione di Pascal, che talvolta è anche detta Gamma-Poisson.

La distribuzione di Panjer, definita per ricorsione, generalizza la distribuzione di Poisson: ${\displaystyle P(n)={\frac {a}{n}}P(n-1)}$ .

Statistica

Approssimazioni

Per ${\displaystyle a>1000}$  una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$  viene solitamente approssimata con la distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(a,a)}$ ; per parametri più piccoli (${\displaystyle a>10}$ ) sono invece necessarie delle correzioni di continuità, legate ai diversi domini delle due distribuzioni (una discreta, una continua).

La radice quadrata di una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson è approssimata da una distribuzione normale meglio di quanto lo sia la variabile stessa.

Il parametro ${\displaystyle a}$  può essere stimato come la media delle osservazioni effettuate. Questo stimatore è privo di bias, ovvero ha come valore atteso ${\displaystyle a}$  stesso.

Inferenza bayesiana

Se il parametro ${\displaystyle a}$  di una distribuzione di Poisson è distribuito a priori secondo la distribuzione Gamma, allora lo è anche a posteriori dell'osservazione ${\displaystyle Y=y}$ .

Intervallo di confidenza per la media

Un criterio rapido per il calcolo approssimato dell'intervallo di confidenza della media campionaria è fornito in Guerriero (2012). Dato un numero k di eventi (almeno 15-20 per un'approssimazione soddisfacente) registrati in un certo intervallo di tempo - o di lunghezza, volume etc. -, i limiti dell'intervallo di confidenza per il parametro λ sono dati da:

${\displaystyle a_{low}=(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){k}}$ 

${\displaystyle a_{upp}=(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){k}}$ 

Storia

Questa distribuzione fu introdotta da Siméon-Denis Poisson nel 1838 nel suo articolo "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile"^[1][2]. Secondo alcuni storici questa variabile casuale dovrebbe portare il nome di Ladislaus Bortkiewicz considerati gli studi fatti da questo nel 1898.^[3]

In realtà la poissoniana come approssimazione della binomiale era già stata introdotta nel 1718 da Abraham de Moivre in Doctrine des chances.^[4]

Tabelle numeriche

a = 0,1; 0,2; ... 1,0

k	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
0	.9048	.8187	.7408	.6703	.6065	.5488	.4966	.4493	.4066	.3679
1	.0905	.1637	.2222	.2681	.3033	.3293	.3476	.3595	.3659	.3679
2	.0045	.0164	.0333	.0536	.0758	.0988	.1217	.1438	.1647	.1839
3	.0002	.0011	.0033	.0072	.0126	.0198	.0254	.0383	.0494	.0613
4		.0001	.0003	.0007	.0016	.0030	.0050	.0077	.0111	.0153
5				.0001	.0002	.0004	.0007	.0012	.0020	.0031
6							.0001	.0002	.0003	.0005
7										.0001

a = 1,2; 1,4; ... 3,0

k	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
0	.3012	.2466	.2019	.1653	.1353	.1108	.0907	.0743	.0608	.0498
1	.3614	.3452	.3230	.2975	.2707	.2438	.2177	.1931	.1703	.1494
2	.2169	.2417	.2584	.2678	.2707	.2681	.2613	.2510	.2384	.2240
3	.0867	.1128	.1378	.1607	.1804	.1966	.2090	.2176	.2225	.2240
4	.0260	.0395	.0551	.0723	.0902	.1082	.1254	.1414	.1557	.1680
5	.0062	.0111	.0176	.0260	.0361	.0476	.0602	.0735	.0872	.1008
6	.0012	.0026	.0047	.0078	.0120	.0174	.0241	.0319	.0407	.0504
7	.0002	.0005	.0011	.0020	.0034	.0055	.0083	.0118	.0163	.0216
8		.0001	.0002	.0005	.0009	.0015	.0025	.0038	.0057	.0081
9				.0001	.0002	.0004	.0007	.0011	.0018	.0027
10						.0001	.0002	.0003	.0005	.0008
11								.0001	.0001	.0002
12										.0002

a = 3,5; 4,0; ... 8,0

k	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0
0	.0302	.0183	.0111	.0067	.0041	.0025	.0015	.0009	.0006	.0003
1	.1057	.0733	.0500	.0337	.0225	.0149	.0098	.0064	.0041	.0027
2	.1850	.1465	.1125	.0842	.0618	.0446	.0318	.0223	.0156	.0107
3	.2158	.1954	.1687	.1404	.1133	.0892	.0688	.0521	.0389	.0286
4	.1888	.1954	.1898	.1755	.1558	.1339	.1118	.0912	.0729	.0573
5	.1322	.1563	.1708	.1755	.1714	.1606	.1454	.1277	.1094	.0916
6	.0771	.1042	.1281	.1462	.1571	.1606	.1575	.1490	.1367	.1221
7	.0385	.0595	.0824	.1044	.1234	.1377	.1462	.1490	.1465	.1396
8	.0169	.0298	.0463	.0653	.0849	.1033	.1188	.1304	.1373	.1396
9	.0066	.0132	.0232	.0363	.0519	.0688	.0858	.1014	.1144	.1241
10	.0023	.0053	.0104	.0181	.0285	.0413	.0558	.0710	.0858	.0993
11	.0007	.0019	.0043	.0082	.0143	.0225	.0330	.0452	.0585	.0722
12	.0002	.0006	.0016	.0034	.0065	.0113	.0179	.0263	.0366	.0481
13	.0001	.0002	.0006	.0013	.0028	.0052	.0089	.0142	.0211	.0296
14		.0001	.0002	.0005	.0011	.0022	.0041	.0071	.0113	.0169
15			.0001	.0002	.0004	.0009	.0018	.0033	.0057	.0090
16					.0001	.0003	.0007	.0014	.0026	.0045
17						.0001	.0003	.0006	.0012	.0021
18							.0001	.0002	.0005	.0009
19								.0001	.0002	.0004
20									.0001	.0002
21										.0001

Note

1. ^ (EN) Jan Gullberg, Mathematics from the birth of numbers, W. W. Norton & Company; p. 963-965. ISBN 0-393-04002-X ISBN 978-0-393-04002-9
2. ^ Siriani Filippo, Enciclopedia delle Matematiche elementari e complementi vol. III p.214, HOEPLI Editore, Milano 1954
3. ^ Ladislaus von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen [The law of small numbers] (Leipzig, Germany: B.G. Teubner, 1898). On page 1, Bortkiewicz presents the Poisson distribution. On pages 23–25, Bortkiewicz presents his famous analysis of "4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten." (4. Example: Those killed in the Prussian army by a horse's kick.).
4. ^ Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9, p157

Bibliografia

• (EN) Donald E. Knuth, Seminumerical Algorithms, The Art of Computer Programming, Volume 2, Addison-Wesley, 1969.
• (EN) Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers, The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6, in SIAM Review, vol. 30, n. 2, 1988, pp. 314–317, DOI:10.1137/1030059.
• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.
• Vincenzo Guerriero, Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics, in J. Mod. Math. Fr., 2012, pp. 21–28.

Voci correlate

• Distribuzione binomiale
• Mistura di distribuzioni
• Convergenza in distribuzione

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Collegamenti esterni

• (EN) IUPAC Gold Book, "Poisson distribution", su goldbook.iupac.org.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Poisson, in MathWorld, Wolfram Research.

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