In analisi matematica, se una funzione di variabile reale è lipschitziana vuol dire che ha "crescita limitata", nel senso che il rapporto tra variazione di ordinata e variazione di ascissa non può mai superare un valore fissato (detto costante di Lipschitz). È una condizione più forte della continuità, ma anche dell'uniforme continuità.

Interpretazione grafica della Condizione di Lipschitz: la funzione f=sin(x)cos(4x) è lipschitziana con K=4. Ciò significa che se prendiamo un qualunque punto del grafico della funzione vi tracciamo le rette di coefficienti angolari 4 e -4 come in figura (dove queste rette sono state tracciate nell'origine) il grafico sarà sempre comunque confinato nella regione rosa.

La lipschitzianità gioca un ruolo chiave nell'unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie.

Il concetto può essere introdotto in generale in spazi metrici. Una sua generalizzazione è data dal concetto di funzione Hölderiana.

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Questo implica che:

Condizione sufficiente per la lipschitzianità

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Ovvio che le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni, fatte per funzioni a valori vettoriali, valgono per funzioni a valori reali. L'importante è sostituire le norme con i moduli e la matrice jacobiana con la derivata prima.

Sottolineamo che la condizione è solo sufficiente, infatti la funzione , anche se non possiede derivata continua, rimane una funzione lipschitziana.

Osservazioni

  • La condizione di Lipschitz deve il suo nome a quello del matematico tedesco Rudolf Lipschitz.
  • Questa condizione ha un'importanza immediata nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie perché rientra nelle ipotesi del Teorema di esistenza ed unicità.
  • Data funzione, lipschitziana uniformemente continua (il che a sua volta implica continua). Queste due implicazioni si visualizzano meglio confrontando le seguenti definizioni dei tre tipi di continuità:, cioè una funzione misurabile f a valori in [0,∞], denotata con f = dμ/dν, tale che per ogni insieme misurabile A si ha
.

Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure [modifica]

Una misura μ sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutemente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione


è una funzione reale assolutamente continua.

    • Continuità semplice: .
    • Continuità uniforme: .
    • Continuità secondo Lipschitz: .

Voci correlate