Funzioni di Anger

Le funzioni di Anger ${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)}$ sono funzioni speciali introdotte da C. T. Anger nel 1855, definibili a partire da un' integrale.

Definizione

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )}$ .

Per ${\displaystyle n\in {\mathbb {Z}}}$ , la funzione di Anger e semplicemente la funzione di Bessel ${\displaystyle J_{n}(z)}$ .

Le funzioni di Anger sono soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine non omogenea:

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+z{\frac {dw}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})w={\frac {(z-\nu )\sin(\nu \pi )}{\pi }}}$ 

E possibile esprimere le funzioni di di Anger con le funzioni di Lommel.

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}s_{0,\nu }(z)-{\frac {\nu \sin(\pi \nu )}{\pi }}s_{-1,\nu }(z).}$ 

Esistono anche relazione con le funzioni di Weber:

${\displaystyle \sin(\nu \pi )\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos(\nu \pi )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z).}$ 

Bibliografia

• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) p. 498.
• G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 309-319.