Numero irrazionale

In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi e b diverso da 0. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc.) non termina mai e non forma una sequenza periodica.

L'introduzione di questi numeri nel panorama matematico è iniziata con la scoperta da parte dei greci delle grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune.

Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (la radice quadrata di 2) e ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}}$ (la radice cubica di 5); altri sono numeri trascendenti come π ed e.

Numeri di cui non è accertata l'irrazionalità

Non si sa ancora se ${\displaystyle \pi +e}$  o ${\displaystyle \pi -e}$  siano irrazionali o no. Infatti, non c'è nessuna coppia di interi non nulli m ed n per cui si sappia se ${\displaystyle m\pi +ne}$  è irrazionale o no. Non si sa neanche se ${\displaystyle 2^{e}}$ , ${\displaystyle \pi ^{e}}$ , ${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$  o la costante di Eulero-Mascheroni siano irrazionali.

Topologia

Usando il valore assoluto per misurare le distanze, i numeri irrazionali diventano uno spazio metrico che non è completo. Tuttavia, questo spazio metrico è omeomorfo allo spazio metrico completo di tutte le sequenze di interi positivi; l'omomorfismo è dato dall'espansione in frazione continua infinita. Questo dimostra che il teorema delle categorie di Baire vale per lo spazio dei numeri irrazionali.

Operazioni tra razionali e irrazionali

La somma di un razionale più un irrazionale è irrazionale. Il prodotto di un razionale per un irrazionale è irrazionale, a meno che il razionale sia ${\displaystyle 0}$ .

Note

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Collegamenti esterni

• Numero irrazionale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) irrational number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Irrational Number, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Irrational number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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