Insieme complemento

Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento, il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Complemento relativo

 

Il complemento relativo (o la differenza) di A rispetto a B.

 

Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto a B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Esso si indica solitamente come ${\displaystyle B\setminus A}$  oppure come ${\displaystyle \,\!B-A}$ . Formalmente abbiamo:

${\displaystyle B\setminus A=B-A=\{x\in B\ e\ x\notin A\}}$ 

Si noti che l'insieme differenza B - A è un sottoinsieme dell'insieme B.

Esempi

• {1,2,3,4,5} - {3} = {1,2,4,5}
• {a,b,c,d} - {c,d,e,f} = {a,b}
• {1,2,3} − {2,3,4}   =   {1}
• {2,3,4} − {1,2,3}   =   {4}

Proposizioni

Se A, B e C sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

• ${\displaystyle C-\left(A\cap B\right)=\left(C-A\right)\cup \left(C-B\right)}$ 
• ${\displaystyle C-\left(A\cup B\right)=\left(C-A\right)\cap \left(C-B\right)}$ 
• ${\displaystyle C-(B-A)=(A\cap C)\cup (C-B)}$ 
• ${\displaystyle (B-A)\cap C=(B\cap C)-A=B\cap (C-A)}$ 
• ${\displaystyle (B-A)\cup C=(B\cup C)-(A-C)}$ 
• ${\displaystyle A-A=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle \varnothing -A=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle A-\varnothing =A}$ 

Complemento assoluto

 

Il complemento assoluto di A.

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Se è definito un insieme universo U, si definisce complemento assoluto di A come il complemento relativo di A rispetto ad U. Formalmente abbiamo:

${\displaystyle {\bar {A}}=\neg A=U-A=\{x\in U\ e\ x\notin A\}}$ 

Il complemento assoluto, indicato anche come A^C o ~ A, rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l’insieme universale è l’insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell’insieme dei numeri dispari è l’insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

PROPOSIZIONE 2: Se A e B sono sottoinsiemi di un insieme universo U, allora valgono le seguenti identità:

leggi di De Morgan:

• (A ∪ B)^C  = A^C ∩ B^C
• (A ∩ B)^C  = A^C ∪ B^C

Leggi di complementarità:

• A ∪ A^C  =  U
• A ∩ A^C  =  Ø
• Ø^C  =  U
• U^C  =  Ø
• Se A⊆B, allora B^C⊆A^C (ciò segue dall’equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale)

Involuzione o legge del doppio complemento:

• (A^C)^C  =  A.

Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

• A − B = A ∩ B^C
• (A − B)^C = A^C ∪ B

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A è un sottoinsieme non vuoto di U, allora {A, A^C} è una partizione di U.

Voci correlate

• Unione
• Intersezione
• Differenza simmetrica
• Sottoclasse
• Teoria degli insiemi