Urto anelastico

L'urto anelastico^[1] a differenza da un urto elastico è un urto in cui non si conserva l'energia cinetica.

Fotografia stroboscopica del rimbalzo di una palla. Ogni urto è anelastico, cioè parted dell'energia cinetica viene dissipata in ogni urto. Se si ignora l' attrito viscoso dell'aria, la radice quadrata del rapporto tra le altezze di due rimbalzi successivi è il coefficiente di restituzione della collisione palla-superficie.

Nell'urto anelastico di corpi macroscopici parte dell'energia cinetica è trasformata sia in energia vibrazionale degli atomi, che in seguito diviene calore, sia spesso avviene anche una deformazione plastica.

Sebbene l'urto anelastico non conservi l'energia cinetica si ha, come avviene in generale negli urti, che si conserva la quantità di moto.

In fisica nucleare si ha un urto anelastico quando una particella subatomica incidendo su nucleo o la porta in uno stato eccitato o lo spezza. Lo scattering anelastico profondo è un metodo usato per studiare la struttura delle particelle subatomiche con una modalità simile all' esperimento di Rutherford utilizzato per studiare la struttura degli atomi. Ad esempio nella collisione di elettroni di grande energia su protoni si trova che la maggior parte degli elettroni non interagiscono attraversando indisturbati il protone, e solo una loro piccola parte viene riflessa indietro. Quanto avviene ha una forte analogia con l'esperimento di Rutherford che ha permesso di determinare la struttura degli atomi. Nel caso dei protoni si trova che essi siano costituiti da tre cariche distinte i quark.

Urto completamente anelastico

 

Animazione di un urto completamente anelastico

Nel caso che l'urto sia completamente anelastico, i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo e viaggiano con la stessa velocità.

Se indichiamo con ${\displaystyle {\vec {v}}_{10}}$  e ${\displaystyle {\vec {v}}_{20}}$  le velocità dei due corpi di massa ${\displaystyle m_{1}}$  e ${\displaystyle m_{2}}$  prima dell'urto dalla legge di conservazione della quantità di moto:

${\displaystyle m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}=(m_{1}+m_{2}){\vec {v}}_{c}}$ 

Avendo indicato con ${\displaystyle {\vec {v}}_{c}}$  la velocità del centro di massa, che è anche la velocità dei due corpi restati a contatto dopo l'urto.

Quindi la velocità finale dei due corpi dopo un urto completamente anelastico è:

${\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}}{m_{1}+m_{2}}}}$ 

Un urto di questo tipo è il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità ${\displaystyle {\vec {v}}_{c}\;}$  diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion, ma pari a quella del centro di massa comune. Nel pendolo balistico si utilizzano le proprietà dell'urto completamente anelastico per valutare la velocità dei proiettili.

Coefficiente di restituzione

L'urto in genere viene trattato in maniera semplice se studiato nel sistema di riferimento del centro di massa, in tale sistema di riferimento le quantità di moto dei due oggetti che si urtano appaiono eguali e contrarie sia prima che dopo l'urto. Il sistema di riferimento inerziale in cui si osserva da fuori l'urto è chiamato sistema di laboratorio. Indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza apici quelle di laboratorio. Le forze esterne se presenti, a meno che non siano impulsive, possono trascurarsi durante l'urto e quindi il sistema di riferimento del centro di massa è un sistema di riferimento inerziale.

La quantità di moto del primo corpo prima dell'urto è ${\displaystyle {\vec {p}}'_{10}}$  e diviene dopo l'urto ${\displaystyle {\vec {p}}'_{1f}=-e{\vec {p}}'_{10}}$ . La grandezza adimensionale introdotta ${\displaystyle 0\leq e\leq 1}$  viene chiamato coefficiente di restituzione e vale 0 per un'urto completamente anelastico (in realtà anche l'urto elastico è compreso nell'analisi se e=1). Il coefficiente di restituzione anche per la seconda particella. Dalla definizione data avremo che:

${\displaystyle {\vec {v}}'_{1f}=-e{\vec {v}}'_{10}\qquad e\qquad {\vec {v}}'_{2f}=-e{\vec {v}}'_{20}}$ 

Cioè nel sistema del centro di massa le velocità di ciascun corpo conservano la direzione, ma cambiano il verso.

L'energia cinetica dopo l'urto:

${\displaystyle E'_{kf}={\frac {1}{2}}m_{1}{v'^{2}}_{1f}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v'^{2}}_{2f}=e^{2}\left({\frac {1}{2}}m_{1}{v'^{2}}_{10}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v'^{2}}_{20}\right)=e^{2}E'_{k0}}$ 

L'unica energia che viene dissipata è quella del sistema di riferimento del centro di massa. L'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa non viene dissipata.

Caso unidimensionale

Nel cao che i due corpi prima dell'urto viaggiano lungo la stessa direzione, possiamo omettere il simbolo di vettore essendo un caso unidimensionale. La velocità del centro di massa nel sistema di laboratorio è:

${\displaystyle v_{c}={\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}}$ 

Ritornando dal sistema del centro di massa a quello di laboratorio:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1f}&=v_{1f}^{'}+v_{c}=-ev_{10}^{'}+v_{c}=-e(v_{10}-v_{c})+v_{c}=-ev_{10}+(1+e)v_{c}=\\&=-ev_{10}+(1+e){\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {(m_{1}-em_{2})v_{10}+(1+e)m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}\ }$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{2f}&=v_{2f}^{'}+v_{c}=-ev_{20}^{'}+v_{c}=-e(v_{20}-v_{c})+v_{c}=-ev_{20}+(1+e)v_{c}=\\&=-ev_{20}+(1+e){\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {(m_{2}-em_{1})v_{20}+(1+e)m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$ 

Quindi siamo in grado nel caso unidimensionale di determinare la velocità finale dei due corpi dopo l'urto.

Vale la pena di considerare i due casi limite:

• ${\displaystyle e=0}$  (urto completamente anelastico), dopo l'urto i due corpi procedono con la velocità del centro di massa, come già discusso:

${\displaystyle v_{1f}=v_{2f}={\frac {m_{2}v_{20}+m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}=v_{c}\ }$ 

• ${\displaystyle e=1}$  (urto elastico)

${\displaystyle v_{1f}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{10}+2m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\ }$ 

${\displaystyle v_{2f}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{20}+2m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}\ }$ 

Note

1. ^ P. Mazzoldi, N. Nigro e C. Voci, FIsica Volume 1, 2ª ed., Napoli, EdiSes Wiley, 2003, ISBN 88-7959-137-1.

Bibliografia

• Ettore Minguzzi; Sabrina Rossi, Principi di conservazione, Alpha Test, 2004, ISBN 88-483-0309-9.
• Giuseppe Dalba, La cinematica degli urti (PDF), Università degli Studi di Trento.

Voci correlate

• Urto elastico
• Urto

Collegamenti esterni

• (EN) inelastic collision, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  

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