Teorema di Pascal

In geometria, il teorema di Pascal, di Blaise Pascal, è uno dei teoremi base della teoria delle coniche. Premesso che sei punti ordinati ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$, ${\displaystyle A_{5}}$, ${\displaystyle A_{6}}$ di una conica individuano un esagono inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrivibile in una conica.

Teorema di Pascal

Blaise Pascal nato a Clemont Ferrand il 19 Giugno 1623 e morto a Parigi il 19 agosto 1662 è noto per aver trovato questo teorema. Aiutato da suo figlio Arnet, Blaise Pascale ha scoperto questo teorema grazie a il loro orto nel giardino coltivato proprio da Arnet^[1].

Il teorema

Per cinque punti generici passa una sola conica

Un risultato classico della teoria delle coniche afferma che per 5 punti generici passa una sola conica. Per "generici" si intende in questo caso che i 5 punti devono essere distinti, e che fra di loro non ve ne sono 4 allineati, cioè giacenti sulla stessa retta: l'aggettivo "generico" suggerisce che 5 punti "presi a caso" soddisfano certamente questa proprietà.

Condizione sul sesto punto

Cinque punti generici determinano quindi una conica. Il teorema di Pascal fornisce una condizione affinché un sesto punto appartenga alla conica:

Siano ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle A_{2}}$ , ${\displaystyle A_{3}}$ , ${\displaystyle A_{4}}$ , ${\displaystyle A_{5}}$ , ${\displaystyle A_{6}}$  sei punti nel piano e siano ${\displaystyle B_{1}}$ , ${\displaystyle B_{2}}$ , ${\displaystyle B_{3}}$  i punti comuni, rispettivamente, alle rette ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$  e ${\displaystyle A_{4}A_{5}}$ , alle rette ${\displaystyle A_{3}A_{4}}$  e ${\displaystyle A_{6}A_{1}}$ , alle rette ${\displaystyle A_{2}A_{3}}$  e ${\displaystyle A_{5}A_{6}}$ .

I sei punti iniziali appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre punti ${\displaystyle B_{1}}$ , ${\displaystyle B_{2}}$ , ${\displaystyle B_{3}}$  appartengono ad una retta, chiamata retta di Pascal.

Il caso particolare in cui i sei punti sono contenuti in una conica degenere, cioè l'unione di due rette, si traduce nel teorema di Pappo-Pascal.

Generalizzazioni

Nel 1847 il teorema fu generalizzato da August Ferdinand Möbius: posto che un poligono con ${\displaystyle 4n+2}$  lati sia iscritto in una conica, si prolunghino i lati opposti fino a che si secano in ${\displaystyle 2n+1}$  punti. Se ${\displaystyle 2n}$  di questi punti si trovano sulla stessa retta, allora anche l'ultimo punto si trova su di essa.

Voci correlate

• Teorema di Pappo
• Blaise Pascal

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Collegamenti esterni

• (EN) Pascal’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Pascal's Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.  

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1. ^ (EN) Pascal's Theorem | Brilliant Math & Science Wiki, su brilliant.org. URL consultato il 13 aprile 2021.