Meccanica razionale
In fisica classica la meccanica razionale, o meccanica analitica, è la branca della fisica matematica che studia il moto e l'equilibrio dei sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà. Essa rappresenta una formulazione della meccanica classica alternativa a quella newtoniana. Il principio fondamentale che, assieme al principio di relatività galileiana, sta alla base della meccanica analitica è il principio di minima azione. La meccanica razionale si è sviluppata tra la seconda metà del XVIII secolo e la fine del XIX secolo, grazie al contributo di importanti scienziati, tra cui Joseph-Louis Lagrange, William Hamilton, Pierre-Louis de Maupertuis, Joseph Liouville, Carl Jacobi, Siméon-Denis Poisson ed Emmy Noether.
Descrizione
All'interno della meccanica razionale è possibile distinguere due differenti formulazioni: la meccanica lagrangiana e la meccanica hamiltoniana. La principale distinzione tra di esse è rappresentata da una diversa scelta operata nel selezionare le coordinate usate per generare lo spazio delle fasi. In particolare, tramite la formulazione hamiltoniana si arriva allo studio delle varietà simplettiche e di Poisson.
Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di punti materiali soggetti a forze, sia che essi siano liberi di muoversi in uno spazio vettoriale, come una curva, una superficie o lo spazio tridimensionale, sia che siano vincolati a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da varietà differenziabili. Dal momento che gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che, pur essendo costituiti da un numero infinito di punti materiali, sono soggetti a particolari vincoli, come nel caso dei corpi rigidi, che ne rendono finito il numero di gradi di libertà. Un altro importante campo di applicazione della meccanica razionale è rappresentato dalla teoria generale dei sistemi dinamici.
Tuttavia, va sottolineato che l'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei modelli con i dati sperimentali, quanto allo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate da questi modelli, come ad esempio il calcolo delle variazioni.
Nonostante i sistemi studiati da questa disciplina appartengano al campo meccanica classica, la meccanica razionale ha importanti legami con teorie non classiche, quali la teoria della relatività e la meccanica quantistica, ad esempio la formulazione lagrangiana costuisce un formalismo naturale per la cosiddetta prima quantizzazione, includendo commutatori tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico.
Bibliografia
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- Jerrold E. Marsden, Tudor Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems, 2ª ed., Texts in Applied Mathematics 17, Springer-Verlag 1999.
- Valter Moretti, Meccanica Analitica, Meccanica Classica, Meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana e Teoria della Stabilità (2020) Springer - Milano.
Voci correlate
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- Meccanica razionale, in Enciclopedia della Matematica, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- Appunti di Meccanica Razionale a cura di Leonardo Latella, su matematicamente.it. URL consultato l'8 aprile 2012 (archiviato dall'url originale il 26 giugno 2012).
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