Utente:Vilnius/Sandbox

In fisica, il teorema del gravitone molle (soft in inglese), formulato la prima volta da Steven Weinberg nel 1965,^[1] permette di calcolare la matrice S, usata nel calcolo dell'esito degli urti tra particelle, quando entrano in gioco gravitoni a bassa energia (molli).

In particolare, se in una collisione tra n particelle entranti da cui scaturiscono m particelle uscenti, l'esito della collisione dipende da una certa matrice S, aggiungendo uno o più gravitoni uscenti(?), la matrice S risultante (sia S') differisce dalla S iniziale soltanto per un fattore che non dipende in alcun modo, se non per il momento, dal tipo di particelle a cui i gravitoni si accoppiano.

Il teorema vale anche mettendo dei fotoni al posto dei gravitoni, ottenendo così un corrispondente teorema del fotone molle.

Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della gravità quantistica sotto forma di teoria quantistica perturbativa,[?] cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica,

Formulazione

Date delle particelle la cui interazione è descritta da una certa matrice S iniziale, aggiungendo un gravitone molle (cioè la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle) che si accoppia a una di tali particelle, la risultante matrice S' è

${\displaystyle {\cal {S}}'={\sqrt {8\pi G}}{\frac {\eta p^{\mu }\cdot p^{\nu }}{p\cdot p_{G}-i\eta \varepsilon }}{\cal {S}}}$  ,^[1]

dove ${\displaystyle p}$  è il momento della particella che interagisce con il gravitone, ${\displaystyle p_{G}}$  è il momento del fotone, ${\displaystyle \epsilon }$  è la sua polarizzazione,  ${\displaystyle \eta =1}$  per le particelle uscenti e ${\displaystyle \eta =-1}$  per quelle entranti (spazio piatto) e ${\displaystyle q}$  è la carica della particella accoppiata al fotone.

Se al posto del gravitone aggiungiamo un fotone un fotone molle (la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle), la risultante matrice S' è

${\displaystyle {\cal {S}}'={\frac {\eta qp\cdot \epsilon }{p\cdot p_{\gamma }-i\eta \varepsilon }}{\cal {S}}}$  ,^[1]

dove ${\displaystyle p}$  è il momento della particella che interagisce con il fotone, ${\displaystyle p_{\gamma }}$  è il momento del fotone ${\displaystyle \epsilon }$  è la sua polarizzazione,  ${\displaystyle \eta =1}$  per le particelle uscenti e ${\displaystyle \eta =-1}$  per quelle entranti (spazio piatto) e ${\displaystyle q}$  è la carica della particella accoppiata al fotone.

re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem (2): here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Weinberg’s soft graviton theorem [1] is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

Consider an amplitude M involving some incoming and some outgoing particles. Now, consider the same amplitude with an additional soft-photon (${\displaystyle \omega _{\text{photon}}\to 0}$ ) coupled to one of the particles. Call this amplitude M'. The two amplitudes are related by

${\displaystyle {\cal {M}}'={\cal {M}}{\frac {\eta qp\cdot \epsilon }{p\cdot p_{\gamma }-i\eta \varepsilon }}}$ 

where p is the momentum of the particle that the photon couples to, ${\displaystyle \epsilon }$  is the polarization of the photon and ${\displaystyle p_{\gamma }}$  is the momentum of the soft-photon.  ${\displaystyle \eta =1}$ for outgoing particles and ${\displaystyle \eta =-1}$  for incoming ones. Finally, q is the charge of the particle.

the proportionality factor relating M and M' is independent of the type of particle that the photon couples to

[1] S. Weinberg, “Infrared photons and gravitons,” Phys. Rev. 140, B516 (1965); ibid “The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations,” Cambridge, UK: Univ. Pr. (1995).

(2) https://arxiv.org/abs/1912.06413

Weinberg re-immaginò la teoria quantistica dei campi da una prospettiva diversa, affermando il primato della relatività speciale, della meccanica quantistica e della nozione di particelle come punto di partenza. Nei suoi primi lavori ha studiato le forze a lungo raggio, come l'elettromagnetismo e la gravità, mediate da particelle senza massa, il fotone e il gravitone. Come tutte le particelle elementari, queste hanno un momento angolare intrinseco, o "spin", che si presenta in unità quantizzate: i fotoni hanno spin 1 e i gravitoni spin 2. Weinberg ha mostrato che la relatività speciale e la meccanica quantistica pongono restrizioni molto stringenti sulle interazioni delle particelle senza massa.

Le particelle con spin 1 devono essere descritte da teorie le cui equazioni hanno la simmetria di gauge, mentre le particelle con spin 2 devono avere le proprietà del gravitone, con una forza di accoppiamento universale comune a tutte le particelle. Questo fornisce una derivazione più profonda del principio di equivalenza assunto da Albert Einstein come punto di partenza per sviluppare la relatività generale. Nessun'altra possibilità è coerente – le forze a lungo raggio che vediamo in natura esauriscono ciò che è permesso dalla relatività speciale e dalla meccanica quantistica.

https://www.lescienze.it/news/2021/08/17/news/quanta_weinberg_fisico_teorico_teoria_quantistica_campi-4955567/

Note

1. Steven Weinberg, Infrared Photons and Gravitons, in Physical Review, vol. 140, 2B, 25 ottobre 1965, pp. B516–B524, DOI:10.1103/PhysRev.140.B516. URL consultato il 19 agosto 2021.