Regressione Fama-MacBeth

Nelle applicazioni empiriche dell'economia finanziaria, una regressione Fama-MacBeth è un metodo di stima applicato a un panel di dati. Ipotizzando un panel di ${\displaystyle T}$ anni (o giorni, settimane, mesi: in generale, periodi), ove per ogni anno ${\displaystyle t=1,\ldots ,T}$ si hanno ${\displaystyle N_{t}}$ osservazioni sezionali, la procedura di Fama-MacBeth parte dalla stima di ${\displaystyle T}$ regressioni su dati sezionali:

${\displaystyle \ y_{it}=\alpha _{t}+\beta _{t}'x_{it},\quad i=1,\ldots ,N_{t},\ t=1,\ldots ,T}$

Si ottiene così una serie di ${\displaystyle T}$ stime dei coefficienti ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t}}$, ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{t}}$; la stima di Fama-MacBeth dei parametri ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ e ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ è data da una media delle ${\displaystyle T}$ stime:

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\alpha }}_{t}}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\beta }}_{t}}$

Il metodo di Fama-MacBeth rappresenta un metodo immediato di stima di modelli di regressione su dati panel, ed è particolarmente indicato in presenza di correlazione seriale nelle variabili ${\displaystyle y_{it}}$, ${\displaystyle x_{it}}$ (in quanto ne elimina gli effetti sulle stime — v. regressione spuria — per costruzione).

La procedura prende il nome da Eugene Fama e James MacBeth, che per primi la applicarono in un noto lavoro apparso nel 1973 sul Journal of Political Economy.

Descrizione del metodo e inferenza

Come illustrato sopra, le stime dei parametri di un modello di regressione lineare:

${\displaystyle \ y_{it}=\alpha _{t}+\beta _{t}'x_{it},\quad i=1,\ldots ,N_{t},\ t=1,\ldots ,T}$ 

sono ottenute, tramite il metodo di Fama e MacBeth, come:

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\alpha }}_{t}}$ 

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\beta }}_{t}}$ 

dove ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t}}$ , ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{t}}$  sono le stime dei parametri ${\displaystyle \alpha }$  e ${\displaystyle \beta }$  per lo stesso modello, stimato su dati relativi a un singolo anno (o periodo di tempo in cui è suddiviso il panel di dati).

Le statistiche t di Student per il test dell'ipotesi nulla che un coefficiente del modello sia uguale a zero sono date da:

${\displaystyle {\hat {t}}_{k}={\frac {{\hat {\beta }}^{(k)}}{\sqrt {{\frac {1}{T(T-1)}}\sum _{t=1}^{T}\left({\hat {\beta }}_{t}^{(k)}-{\hat {\beta }}^{(k)}\right)^{2}}}}}$ 

dove ${\displaystyle {\hat {\beta }}^{(k)}}$  denota la componente ${\displaystyle k}$ -esima del vettore di stime ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ .

Proprietà asintotiche

Riscrivendo il modello della sezione precedente in notazione matriciale:

${\displaystyle y_{t}=X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\quad t=1,\ldots ,T}$ 

lo stimatore di Fama-MacBeth per il vettore di parametri ${\displaystyle \beta }$  è dato da:

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t}(X_{t}'X_{t})^{-1}X_{t}'y_{t}=\beta +{\frac {1}{T}}\sum _{t}(X_{t}'X_{t})^{-1}X_{t}'\varepsilon _{t}=\beta +{\frac {1}{T}}\sum _{t}\left({\frac {X_{t}'X_{t}}{N_{t}}}\right)^{-1}{\frac {X_{t}'\varepsilon _{t}}{N_{t}}}}$ 

Seguendo l'approccio standard dei testi di econometria (cfr. ad es. Greene (2003)), si ipotizzi:

• ${\displaystyle \mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}X_{t}'X_{t}=Q_{t}\ \forall \ t}$ , e ${\displaystyle \exists \ Q_{t}^{-1}\ \forall \ t}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}X_{t}'\varepsilon _{t}=\mathbf {0} \ \forall \ t}$ .

dove ${\displaystyle \mathrm {plim} }$  denota la convergenza in probabilità. Si ha dunque:

${\displaystyle \mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty \ \forall \ t}{\hat {\beta }}=\beta +{\frac {1}{T}}\sum _{t}Q_{t}^{-1}\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {X_{t}'\varepsilon _{t}}{N_{t}}}=\beta }$ 

Lo stimatore di Fama-MacBeth gode dunque della proprietà di consistenza.

Sotto una serie di condizioni standard (si veda ancora Greene (2003)), è possibile applicare il teorema del limite centrale agli stimatori OLS ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{t}}$ :

${\displaystyle {\sqrt {N_{t}}}\left({\hat {\beta }}_{t}-\beta \right)\ {\stackrel {d}{\rightarrow }}\ z\sim {\mathcal {N}}\left(\mathbf {0} ,\sigma ^{2}Q_{t}^{-1}\right)}$ 

dove ${\displaystyle \sigma ^{2}=\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}\varepsilon _{t}'\varepsilon _{t}}$  e ${\displaystyle {\stackrel {d}{\rightarrow }}}$  denota la convergenza in distribuzione. Ma allora lo stimatore di Fama-MacBeth è una media aritmetica di vettori casuali aventi distribuzione normale, ed è, di conseguenza, anch'esso normalmente distribuito. Ipotizzando che ${\displaystyle \mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}\varepsilon _{t}\varepsilon _{\tau }'=\mathbf {0} \ \forall \ \tau \neq t}$  (assenza di correlazione seriale), in particolare, si avrà:

${\displaystyle {\hat {\beta }}\ {\stackrel {d}{\rightarrow }}\ {\mathcal {N}}\left(\beta ,{\frac {\sigma ^{2}}{T}}\sum _{t}Q_{t}^{-1}\right)}$ 

nel limite per ${\displaystyle N_{t}\rightarrow \infty \ \forall \ t}$ .

È sulla base dell'espressione sopra che risulta legittimo ricorrere a statistiche ${\displaystyle t}$  di Student come quelle descritte nella Sezione precedente.

Applicazioni e variazioni

Il metodo di Fama e MacBeth è ampiamente utilizzato nelle applicazioni empiriche dell'economia finanziaria; secondo Petersen (2004), è più spesso impiegato nell'ambito dell'asset pricing, ma non mancano lavori che ne fanno uso in contesti di corporate finance.

Diversi lavori hanno inoltre applicato il metodo di Fama-MacBeth a modelli econometrici diversi dal modello lineare illustrato sopra. Fama e French (2001) adattano il metodo a un modello logit; Gompers et al. (2003) lo applicano a regressioni di Poisson e regressioni robuste.

Bibliografia

Contributi storici

• Fama, Eugene F. e James D. MacBeth, 1973, "Risk, Return and Equilibrium: Empirical Tests", Journal of Political Economy 81 (3), 607-636.

Altri lavori che impiegano il metodo di Fama-MacBeth

• Gompers, Paul A., Joy L. Ishii e Andrew Metrick, 2003, "Corporate Governance and Equity Prices", Quarterly Journal of Economics 118(1), 107-155.
• Fama, Eugene F. e Kenneth R. French, 2001, "Disappearing Dividends: Changing Firm Characteristics or Lower Propensity to Pay?", Journal of Financial Economics 60 (1), 3-43.

Manualistica e rassegne della letteratura

• (EN) Cochrane, John, 2004, Asset Pricing - Revised Edition, Princeton University Press; descrive nel dettaglio la procedura di Fama-MacBeth nel capitolo 12.
• (EN) Greene, William H., 2003, Econometric Analysis, Prentice Hall International; tratta a un livello accessibile la teoria asintotica delle stime OLS.
• Petersen, Mitchell A., 2004, "Estimating Standard Errors in Finance Panel Data Sets: Comparing Approaches", Center for the Study of Industrial Organization — Northwestern University, Working Paper 0055; discute i pro e contro di un approccio di stima basato su regressioni di Fama-MacBeth, rispetto alla stima tramite modelli per dati panel (effetti fissi ed effetti casuali).

Voci correlate

• Capital asset pricing model
• Arbitrage pricing theory
• Regressione lineare