Versore

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso, ossia un vettore che ha modulo uguale ad 1.

Dato un qualunque vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}}$

Esempi

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

• i versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

1. ${\displaystyle {\hat {\imath }},\ {\hat {\jmath }},\ {\hat {k}}}$ 
2. ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}}$ 
3. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ \mathbf {e} _{2},\ \mathbf {e} _{3}}$ 
4. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }},\ {\hat {\mathbf {y} }},\ {\hat {\mathbf {z} }}}$ 
5. ${\displaystyle \mathbf {x} _{0},\ \mathbf {y} _{0},\ \mathbf {z} _{0}}$ 
6. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$ 

• i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.
• i versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:

1. ${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {\theta }}}$ 
2. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }},\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ 
3. ${\displaystyle \mathbf {e} _{r},\ \mathbf {e} _{\theta }}$ 
4. ${\displaystyle \mathbf {r} _{0},\ {\boldsymbol {\theta }}_{0}}$ 

• Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano con:

1. ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {n}}}$ 
2. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }},\ {\hat {\mathbf {n} }}}$ 
3. ${\displaystyle \mathbf {e} _{t},\ \mathbf {e} _{n}}$ 

Derivata di un versore

  Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata.

Sia ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)}$  un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=\left|{\hat {\mathbf {v} }}\right|^{2}}$ 

ricordando che i versori hanno modulo unitario:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=1}$ 

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}+{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}'=0}$ 

Data la commutatività del prodotto scalare

${\displaystyle 2\left({\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}\right)=0}$ 

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=0}$ 

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}}$ , si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)=\theta (t),{\hat {\theta }}+1\,{\hat {r}}}$ 

che in coordinate cartesiane diviene:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)=\cos \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\imath }}+\sin \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\jmath }}}$ 

derivando rispetto a ${\displaystyle t}$  si ottiene:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'(t)=\theta '(t)(-\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }})}$ 

dove il termine

${\displaystyle -\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}}$ 

è il versore ortogonale di modulo unitario,

e dove il termine:

${\displaystyle \theta '(t)}$ 

è in generale diverso dall'unità.

Voci correlate

• Vettore (matematica)
• Vettore (fisica)
• Normalizzazione (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio vettoriale
• Spazio normato
• Circonferenza unitaria

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Unit Vector, su MathWorld, Wolfram Research.  

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