Polinomio

In matematica un polinomio è una espressione con costanti e variabili combinate usando soltanto somma, sottrazione e prodotto. In altre parole, è la somma algebrica di alcuni monomi. Ad esempio

${\displaystyle \quad x+3y-z^{2}}$

è la somma di tre monomi. Ciascun monomio è chiamato termine del polinomio.

Le costanti sono anche chimate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.

Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio

${\displaystyle \quad p(x)=x^{2}-3x+2}$

definisce una funzione dai numeri reali in sé.

Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, ${\displaystyle p(x)}$ ha come radici i valori 1 e 2, poiché

${\displaystyle 1^{2}-3\times 1+2=0,\ 2^{2}-3\times 2+2=0.}$

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria.

Nomenclatura

Un polinomio può essere

• ridotto in forma normale, quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:

${\displaystyle \quad x+3y+28z-2y-28z}$ 

ridotto in forma normale diventa

${\displaystyle \quad x+y,}$ 

• nullo, se consta del solo zero,
• monomio, binomio, trinomio, quadrinomio... se è la somma di 1, 2, 3, 4... monomi.
• omogeneo se è la somma di monomi dello stesso grado

Due polinomi sono generalmente considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:

${\displaystyle x+3y+28z-2y-28z,\ x+y,\ y+x.}$ 

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il grado parziale rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi

${\displaystyle \quad 2+xy+y}$ 

ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia ${\displaystyle x}$  che ${\displaystyle y}$ .

I coefficienti di un polinomio sono definiti come l'insieme dei coefficienti dei singoli termini. Quindi i coefficienti di ${\displaystyle \quad 2+xy+y}$  sono rispettivamente 2, 1 e 1: il coefficiente 1 in un monomio è solitamente sottointeso.

Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

${\displaystyle \quad x^{2}+y^{3}+x+5}$ 

il termine noto è l'ultimo monomio, "5".

Un polinomio è omogeneo se tutti i monomi hanno lo stesso grado. Ad esempio,

${\displaystyle \quad x^{2}+3y^{2}-xz.}$ 

Operazioni con i polinomi

Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se

${\displaystyle \quad p(x)=x^{2}-x,}$ 

${\displaystyle \quad q(x)=x+2,}$ 

allora la somma ed il prodotto di p e q sono rispettivamente

${\displaystyle \quad p(x)+q(x)=x^{2}-x+x+2=x^{2}+2,}$ 

${\displaystyle \quad p(x)q(x)=(x^{2}-x)(x+2)=x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x=x^{3}+x^{2}-2x.}$ 

Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.

Riduzione delle variabili

In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

${\displaystyle \quad p=x^{2}+y+2}$ 

può essere considerato anche come polinomio in x soltanto, dando a y il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in y soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio p ha grado 2 rispetto a x, e solo 1 rispetto a y. Ad esempio, il polinomio

${\displaystyle \quad x^{2}y^{3}+z^{4}}$ 

è di grado 5, ma se visto soltanto nelle singole variabili x, y e z ha grado rispettivamente 2, 3 e 4.

Polinomi di una sola variabile

Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ 

con ${\displaystyle a_{n}}$  diverso da zero. Con questa scrittura, ${\displaystyle a_{0}}$  è il termine noto e ${\displaystyle n}$  è il grado. ${\displaystyle a_{n}}$  si dice coefficiente direttore.

Un tale polinomio è

• monico, se ${\displaystyle a_{n}=1}$ ,
• completo, se tutti gli ${\displaystyle a_{i}}$  sono diversi da zero, per 0 ≤ i ≤ n.

Radici di un polinomio

  Lo stesso argomento in dettaglio: Radice (matematica).

Una radice di un polinomio ${\displaystyle p(x)}$  in una sola variabile è un numero ${\displaystyle b}$  tale che

${\displaystyle \quad p(b)=0,}$ 

cioè tale che, sostituito a ${\displaystyle x}$ , rende nulla l'espressione. Quindi se

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n},}$ 

il numero ${\displaystyle b}$  è radice se

${\displaystyle p(b)=a_{0}+a_{1}b+a_{2}b^{2}+\ldots +a_{n}b^{n}=0.}$ 

Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio p si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale y=p(x) con l'asse delle ascisse.

Un polinomio di grado ${\displaystyle n}$  può avere al più ${\displaystyle n}$  radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio

${\displaystyle \quad x^{2}+1}$ 

poiché ${\displaystyle \quad b^{2}+1>0}$  per ogni ${\displaystyle b}$  reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio ha esattamente ${\displaystyle n}$  radici complesse, contate con molteplicità.

Esistono formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado, come per alcune classi di polinomi di terzo e quarto grado, come funzioni unicamente dei coefficienti di tali polinomi (la cosiddetta risoluzione per radicali). È stato invece dimostrato che non è possibile trovare una tale formula per polinomi dal quinto grado in su.

Polinomi come funzioni

Un polinomio avente coefficienti in un certo insieme A (un anello o una struttura più completa) può essere visto come una funzione dall'insieme A in sé, detta funzione polinomiale. Ad esempio, un polinomio con una variabile, avente come coefficienti dei numeri reali, è spesso descritto come funzione

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}}$ 

dall'insieme dei numeri reali in sé. Per il seguente principio d'identità dei polinomi, questa descrizione è fedele, cioè polinomi diversi risultano essere funzioni diverse (la corrispondenza è iniettiva):

due polinomi ${\displaystyle p}$  e ${\displaystyle q}$  con coefficienti reali tali che ${\displaystyle p(x)=q(x)}$  per ogni ${\displaystyle x}$  sono uguali.^[1]

A seconda del grado,

un polinomio di grado 0 è una funzione costante,

un polinomio di grado 1 è una funzione lineare,

un polinomio di grado 2 è una funzione quadratica o conica,

un polinomio di grado 3 è una funzione cubica.

Esempi

Polinomio di grado 2: f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)	Polinomio di grado 3: f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio di grado 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	Polinomio di grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

Derivata

Un polinomio a coefficienti reali

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}}$ 

definisce una funzione derivabile da R in R, la cui derivata è

${\displaystyle p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\ldots +na_{n}x^{n-1}.}$ 

Quindi la derivata (n+1)-esima di un polinomio di grado n è la funzione zero. Le funzioni polinomiali sono funzioni analitiche e dunque in particolare funzioni infinitamente derivabili, o lisce.

Anello di polinomi

  Lo stesso argomento in dettaglio: Anello dei polinomi.

Dato un anello ${\displaystyle A}$ , il simbolo

${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ 

denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$  con coefficienti in ${\displaystyle A}$ . Ad esempio, ${\displaystyle A}$  può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.

L'insieme ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$  risulta essere anch'esso un anello, chiamato anello dei polinomi in ${\displaystyle n}$  variabili con coefficienti in ${\displaystyle A}$ . Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.

Se ${\displaystyle A}$  è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su ${\displaystyle A}$ , ed è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi.

Esempi

• Z[x] non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale ${\displaystyle (2,x)}$  generato dai polinomi 2 e ${\displaystyle x}$  non è principale.
• R[x, y] non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale ${\displaystyle (x,y)}$  generato dai polinomi ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  non è principale.
• K[x], se K è un campo, è un dominio a fattorizzazione unica.
• Il principio di identità dei polinomi vale solo su domini infiniti. Ad esempio, se K è il campo finito con due elementi

${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }}$ 

allora il polinomio

${\displaystyle \quad f(x)=x+x^{2}}$ 

è tale che ${\displaystyle f(x)=0}$  per ogni ${\displaystyle x}$  in K (cioè 0 e 1), benché non sia il polinomio nullo.

Derivata formale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra differenziale.

Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come definizione di derivata (chiamata derivata formale) nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello ${\displaystyle A}$ , anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.

Voci correlate

• Prodotto notevole
• Categoria:Polinomi speciali
• Sequenza polinomiale

Note

1. ^ Questo enunciato vale in generale in un dominio infinito, come è appunto l'insieme dei numeri reali.

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