Triangolo di Tartaglia

Il Triangolo di Tartaglia (anche detto triangolo di Pascal) è un metodo, o meglio una costruzione, per ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.

Costruzione

Le prime righe del Triangolo di Tartaglia sono le seguenti:

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
 1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1

In ciascuna riga, si può osservare che gli elementi di questa costruzione si ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga precedente. Ossia, se k e n sono interi positivi, e k è minore o uguale a n:

${\displaystyle C_{n,k}^{}={n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{per }}k=0{\mbox{ oppure }}k=n\\C_{n-1,k-1}^{}+C_{n-1,k}^{}&{\mbox{negli altri casi}}\end{matrix}}\right.}$ 

La potenza del binomio

L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle potenze di un binomio. Se ad esempio si vuole scrivere lo sviluppo di ${\displaystyle (a+b)_{}^{4}}$ , è sufficiente andare alla quinta riga del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè: 1, 4, 6, 4, 1). E dunque possiamo scrivere:

${\displaystyle (a+b)_{}^{4}=a_{}^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}.}$ 

In generale, nella n+1-esima riga si trovano i coefficienti della potenza n-esima del binomio.

Per tale motivo, i numeri del triangolo di Tartaglia sono detti anche coefficienti binomiali, particolarmente studiati nell'ambito del calcolo combinatorio: si dimostra infatti che che l'elemento di posizione k sulla riga n del triangolo di Tartaglia è il numero di combinazioni di n-1 elementi di classe k-1:

${\displaystyle C_{n+1,k+1}^{}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ 

Dunque, la potenza del binomio può essere scritta anche con la formula seguente, che dobbiamo a Newton ed è comunemente indicata come formula di Newton:

${\displaystyle (a+b)_{}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{(n-k)}.}$ 

Nota storica

La costruzione del triangolo di Tartaglia era nota a matematici cinesi nel XIV secolo, e forse anche in epoca anteriore. Il Italia prese il nome di Niccolò Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso trattato nella prima metà del XVI secolo, ma in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che un secolo dopo 1654 ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunemente attribuito a Stiefel che ne scrisse nel 1544.