Numero irrazionale

In matematica, un numero irrazionale è ogni numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. La necessità dell'introduzione di questo insieme si rese evidente a causa dell'esistenza di grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc) non termini mai e non formi una sequenza periodica. "Quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali, in un senso che è definito più precisamente sotto.

Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come 2^1/2 (la radice quadrata di due) e 5^1/3 (la radice cubica di 5); altri sono numeri trascendenti come π and e.

Storia della teoria dei numeri irrazionali

La scoperta dei numeri irrazionali viene solitamente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una dimostrazione (più probabilmente geometrica) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la storia Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre provava a rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione (vedi la dimostrazione sotto). Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e per questo condannò Ippaso a morire annegato.

Il sedicesimo secolo vide infine l'accoglienza favorevole da parte della comunità matematica dei numeri negativi, interi e frazionari. Il diciassettesimo secolo vide, da parte di matematici, l'uso sempre più frequente delle frazioni decimali con la notazione moderna. I successivi cento anni videro i numeri immaginari diventare un potente strumento nelle mani di Abraham de Moivre, e specialmente di Leonhard Euler. Per il diciannovesimo secolo rimase da completare la teoria dei numeri complessi, dimostrare l'esistenza dei numeri trascendenti e dividere gli irrazionali in algebrici e trascendenti, e compiere uno studio scientifico su un argomento che era rimasto quasi in letargo dai tempi di Euclide, la teoria degli irrazionali. L'anno 1872 vide la pubblicazione delle teorie di Karl Weierstrass (tramite il suo allievo Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), e Richard Dedekind. Méray aveva preso nel 1869 lo stesso punto di partenza di Heine, ma generalmente si attribuisce tale teoria all'anno 1872. Il metodo di Weierstrass fu completamente avviato da Pincherle (1880), e quello di Dedekind ricevette maggiore risalto tramite il successivo lavoro dell'autore (1888) e il più recente appoggio di Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, e Heine basarono le loro teorie sulle serie infinite, mentre Dedekind fondò la sua sull'idea di un taglio (Schnitt) nel sistema dei numeri reali, separando tutti i numeri razionali in due gruppi che hanno certe proprietà caratteristiche. L'argomento ricevette successivi contributi per mano di Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), e Méray.

Le frazioni continue, strettamente collegate ai numeri irrazionali (e dovute a Cataldi, 1613), furono prese in considerazione da parte di Eulero, e all'inizio del diciannovesimo secolo ebbero maggior rilievo grazie agli scritti di Joseph Louis Lagrange. Altri notevoli contributi furono dati da Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), and Günther (1872). Ramus (1855) per la prima volta collegò l'argomento con i determinanti, dando vita, con i successivi contributi di Heine, Möbius, e Günther, alla teoria dei determinanti delle frazioni continue. Anche Dirichlet contribuì alla teoria generale.

I numeri trascendenti furono per la prima volta distinti dagli irrazionali algebrici da Kronecker. Lambert provò (1761) che π non può essere razionale, e che eⁿ è irrazionale se n è razionale (eccetto n = 0), dimostrazione, comunque, che lasciò molto a desiderare. Legendre (1794) completò la dimostrazione di Lambert, e mostrò che pi non è la radice quadrata di un numero razionale. Joseph Liouville (1840) mostrò che né e né e² possono essere radici di un'equazione quadratica intera. Ma l'esistenza di numeri trascendenti fu per la prima volta stabilita da Liouville (1844, 1851), la cui dimostrazione fu successivamente rimpiazzata da Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) provò per primo la trascendenza di e, e Ferdinand von Lindemann (1882), partendo dalle conclusioni di Hermite, mostrò lo stesso per π. La dimostrazione di Lindemann fu molto semplificata da Weierstrass (1885), e ulteriormente da David Hilbert (1893), e fu infine resa elementare da Hurwitz e Gordan.

Irrazionalità di certi logaritmi

Forse i numeri che più facilmente si dimostra che siano irrazionali sono i logaritmi come log₂3. L'argomentazione tramite dimostrazione per assurdo è la seguente:

• Supponiamo che log₂3 sia razionale. Allora esistono due interi positivi m e n tali che log₂3 = m/n.
• Di conseguenza 2^m/n = 3.
• Allora 2^m = 3ⁿ.
• Ma 2^m è pari (perché almeno uno dei suoi fattori primi è 2) e 3ⁿ è dispari (perché tutti i suoi fattori sono uguali a 3), pertanto ciò è impossibile.

Irrazionalità della radice quadrata di 2

Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è la seguente, che procede per assurdo. La proposizione è provata assumendo l'opposto e mostrando che è falso, che implica che la proposizione iniziale debba essere vera.

1. Assumiamo che √2 sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi a e b tali che a / b = √2.
2. Allora √2 si può scrivere come una frazione irriducibile a / b tale che a e b sono interi coprimi e (a / b)² = 2.
3. Segue che a² / b² = 2 ed a² = 2b².
4. Dunque a² è pari perché è uguale a 2b² che è ovviamente pari.
5. Segue che anche a deve essere pari. (Infatti numeri dispari hanno quadrati dispari e numeri pari hanno quadrati pari.)
6. Poiché a è pari, esiste un intero k che soddisfa: a = 2k.
7. Sostituendo otteniamo: 2b² = (2k)², cioè b² = 2k².
8. Poiché 2k² è pari segue che anche b² è pari e quindi anche b è pari.
9. In base alla (5) e la (8) a e b sono entrambi pari, che contraddice il fatto che a / b sia irriducibile come supposto nella (2).

Poiché abbiamo ottenuto una contraddizione con l'assunzione che √2 sia un numero razionale, essa deve essere falsa. Dunque abbiamo dimostrato l'opposto, cioè che √2 è irrazionale.

Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque numero naturale è un numero naturale o è irrazionale.

Una dimostrazione differente

Un'altra dimostrazione per assurdo che dimostra l'irrazionalità di √2 è meno conosciuta ma abbastanza interessante per essere inclusa qui. Essa procedeesfsved osservando che se √2 = m/n allora √2 = (2n − m)/(m − n), quindi una frazione ai minimi termini viene ridotta in termini ancora minori. Questa è una contraddizione se n e m sono interi positivi, dunque l'assthrhsrhione che √2 sia razionale deve essere falsa. Da un triangolo rettangolo isosceefvle dirsdfxcvhthntnthtg cui ireg cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezzesfsdfe n e mdf, tramite una classica costruzione con riga e compasso, e' gnmente lunghezze m − n e 2n &sdfgminus; m. Questa costruzione dimostra l'irrazionalità di &radicbs;2 con lo stesso tipo di metodo chexcffsfdvecve fu h

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Numeri di cui non è accertata l'irrazionalità

Non si sa ancora se π + e o π − e sono irrazionali o no. Infatti, non c'è nessuna coppia di interi non nulli m ed n per cui si sappia se mπ + ne è irrazionale o no. Non si sa neanche se 2^{e, πe, π√2 o la costante gamma di Euler-Mascheroni sono irrazionali.}

L'insieme di tutti i numeri irrazionali

L'insieme di tutti i numeri irrazionali non è numerabile (poiché i razionali sono numerabili e i reali non lo sono). L'insieme degli irrazionali algebrici, ossia gli irrazionali non-trascendenti, è numerabile. Usando il valore assoluto per misurare le distanze, i numeri irrazionali diventano uno spazio metrico che non è completo. Tuttavia, questo spazio metrico è omeomorfo allo spazio metrico completo di tutte le sequenze di interi positivi; l'omomorfismo è dato dall'espansione in frazione continua infinita. Questo dimostra che il teorema delle categorie di Baire vale per lo spazio dei numeri irrazionali.