Discussione:Teorema di Noether

La dimostrazione è come me la ricordo io, ma non mi soddfisfa molto... Chi può, agisca.

BW 06:30, Ago 11, 2004 (UTC)

BW, mi sembra che in questa pagina ci sia una dimostrazione più rigorosa anche se te la segnalo solamente, dato che il mio amore per la matematica risente dell'attuale scarsa pratica quotidiana..se non serve niente, altrimenti cambia tu (io meglio che non tocchi niente ;) ) Ciao e grazie, Matteo 07:27, Ago 11, 2004 (UTC)

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Apro i miei appunti di "meccanica razionale" e leggo:
Definizione: si dice ammissibile una trasformazione invertibile di coordinate ${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {f}}({\vec {Q}})}$ per un dato sistema se e soltanto se la lagrangiana L del sistema è invariante per la trasformazione ovvero se: ${\displaystyle L({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}})=L({\vec {Q}},{\vec {\dot {Q}}})}$.
Teorema di Noether: Se un sistema lagrangiano ammette un gruppo di trasformazioni ad un parametro ${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {f}}({\vec {Q}},s)}$ allora le eq. di Lagrange del sistema hanno un integrale primo dato da ${\displaystyle I({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{l}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial s}}({\vec {q}},0)}$.
Dimostrazione: se ${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$ è una soluzione delle equazioni di Lagrange allora anche ${\displaystyle {\vec {F}}(t,s)={\vec {f}}({\vec {q}}(t),s)}$ lo è. Ma per l'invarianza di L posso scrivere
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}L({\vec {F}},{\vec {\dot {F}}})|_{s=0}=\sum _{i=1}^{l}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}({\vec {F}},{\vec {\dot {F}}}){\frac {\partial F_{i}}{\partial s}}(t,0)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}({\vec {F}},{\vec {\dot {F}}}){\frac {\partial F_{i}}{\partial t}}(t,0))=0}$
Ma per ogni i da 1 a l
${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}({\vec {F}},{\dot {\vec {F}}})-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}({\vec {F}},{\dot {\vec {F}}})=0}$
Mettendo a sistema queste due equazioni e sfruttando il fatto che: ${\displaystyle {\vec {F}}(t,0)={\vec {q}}(t)}$, ${\displaystyle {\dot {\vec {F}}}(t,0)={\dot {\vec {q}}}(t)}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial s}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial s}}}$ si ottiene
${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\sum _{i=1}^{l}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial F_{i}}{\partial s}}(t,0))={\frac {d}{dt}}I({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}})=0}$
ovvero I è un'invariante del moto.

Spero di non aver insrito troppi errori :-) Ditemi cosa ne pensate.--Berto 08:04, Ago 11, 2004 (UTC)