Teorema di Kakutani

Teorema di Kakutani

È un teorema di punto fisso che estende il Teorema di Schauder alle funzioni a più valori.

Sia dato uno spazio di Banach X, e sia K un sottoinsieme compatto di X.

Sia ${\displaystyle f\colon X\to 2^{K}}$ un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

1. f è chiusa;
2. per ogni ${\displaystyle x\in K}$, ${\displaystyle f(x)}$ è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.

Allora f ammette almeno un punto fisso in K.

Definizioni

Applicazione a più valori o funzione a valori di insieme

un'applicazione a più valori f da un insieme X a un insieme Y è una regola che associa uno o più elementi di Y ad ogni punto di X. Formalmente si può rappresentare come una funzione ordinaria da X all'insieme delle parti di Y, e scritta come f :  X→2^Y.

Applicazione chiusa

un'applicazione a più valori f :  X→2^Y si dice chiusa se per ogni successione ${\displaystyle x_{n}}$ , ${\displaystyle y_{n}}$  con ${\displaystyle y_{n}\in f(x_{n})}$ , ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$  e ${\displaystyle y_{n}\to y_{0}}$ , si ha ${\displaystyle y_{0}\in f(x_{0})}$ .

Punto fisso

Sia f: X→2^X una funzione a più valori. Allora a ∈ X è un punto fisso di f se a ∈ f(a).