離心近点角

離心近点角（りしんきんてんかく、Eccentric anomaly）とは、近点・遠点とある時点での軌道上の位置の間にできる角のことである。軌道の楕円の外接円は主軸に対して垂直になり、楕円の中心を向いている。下記の図では、zcxで表されるEの角に相当する。

計算

軌道力学では、離心近点角Eは次の式で計算できる。

${\displaystyle E=\arccos {{1-\left|\mathbf {r} \right|/a} \over e}}$ 

ここで、

• ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ は天体の位置ベクトル（線分sp）
• ${\displaystyle a\,\!}$ は軌道の軌道長半径（線分cz）
• ${\displaystyle e\,\!}$ は軌道の離心率

を表している。

離心近点角Eと平均近点角Mの関係は

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin {E}.\,\!}$ 

と表される。 ${\displaystyle e}$  (${\displaystyle e<0.6627434}$ )の値は小さいため、${\displaystyle E_{0}=M}$ という初項を使って、${\displaystyle E_{i+1}=M+e\,\sin E_{i}}$ という漸化式によりこの方程式を解くことができる。 最初の数項における${\displaystyle e}$ の冪級数は次のようになる。

• ${\displaystyle E_{1}=M+e\,\sin M}$ 
• ${\displaystyle E_{2}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M}$ 
• ${\displaystyle E_{3}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M+{\frac {1}{8}}e^{3}(3\sin 3M-\sin M)}$ 

離心近点角Eと真近点角Tの関係は、

${\displaystyle \cos {T}={{\cos {E}-e} \over {1-e\cdot \cos {E}}}}$ 

または変形して

${\displaystyle \tan {T \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}.\,}$ 

と書ける。

半径（位置ベクトルの大きさ）と近点角の関係は、

${\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)\,\!}$ 

${\displaystyle r=a{(1-e^{2}) \over (1+e\cdot \cos {T})}.\,\!}$ 

と表せる。

関連項目

• 軌道要素
• ケプラーの法則
• 平均近点角
• 真近点角