Gruppo di Galois assoluto

Il gruppo di Galois assoluto di un campo ${\displaystyle K}$ è per definizione il gruppo di Galois di ${\displaystyle K_{s}}$ su ${\displaystyle K}$, dove ${\displaystyle K_{s}}$ denota la chiusura separabile di ${\displaystyle K}$. In alternativa può essere definito come il gruppo di tutti gli automorfismi di ${\displaystyle K_{s}}$ che fissano ${\displaystyle K}$. Si noti che se ${\displaystyle K}$ è un campo perfetto (come nel caso in cui ${\displaystyle K}$ ha caratteristica zero o è un campo finito), allora ${\displaystyle K_{s}}$ coincide con la chiusura algebrica ${\displaystyle {\bar {K}}}$ di ${\displaystyle K}$.

Esempi

• Il gruppo di Galois assoluto di un campo algebricamente chiuso è banale.
• Il gruppo di Galois assoluto del campo dei numeri reali è un gruppo ciclico di due elementi (il coniugio complesso e l'identità), poiché ${\displaystyle \mathbb {C} }$  è la chiusura separabile di ${\displaystyle \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2.}$ 
• Il gruppo di Galois assoluto di un campo finito ${\displaystyle K}$  è isomorfo al gruppo

${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .}$ 

(Per la notazione vedere limite inverso.)

L'automorfismo di Frobenius ${\displaystyle \mathrm {Fr} }$  è un generatore (topologico) canonico di ${\displaystyle G_{K}}$  (si ricordi che ${\displaystyle \mathrm {Fr} (x)=x^{q}}$  per ogni ${\displaystyle x\in K^{alg}}$ , dove ${\displaystyle q}$  è il numero di elementi di ${\displaystyle K}$ ).

• Il gruppo di Galois assoluto del campo delle funziono razionali con coefficienti complessi è libero (come un gruppo profinito). Questo risultato è dovuto a Adrien Douady e ha le sue origini nel teorema di esistenza di Riemann.^[1]
• Più in generale, sia ${\displaystyle C}$  un campo algebricamente chiuso e ${\displaystyle x}$  una variabile. Il gruppo di Galois assoluto di ${\displaystyle K=C(x)}$  è libero di rango uguale alla cardinalità di ${\displaystyle C.}$  Questo risultato è dovuto a David Harbater e Florian Pop, e fu dimostrato nuovamente in seguito da Dan Haran e Moshe Jarden usando metodi algebrici.^[2][3][4]
• Sia ${\displaystyle K}$  un'estensione finita del campo dei numeri p-adici ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$  Per ${\displaystyle p\neq 2,}$  il suo gruppo di Galois assoluto è generato da ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]+3}$  elementi e ha una descrizione esplicita in termni di generatori e relazioni. Questo è un risultato di Uwe Jannsen e Kay Wingberg.^[5][6] Alcuni risultati sono noti per il caso ${\displaystyle p=2,}$  ma la struttura per ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$  non è nota.^[7]
• Un altro caso in cui il gruppo di Galois assoluto è stato determinato è per il massimo sottocampo totalmente reale del campo dei numeri algebrici.^[8]

Note

1. ^ Douady, 1964.
2. ^ Harbater, 1995.
3. ^ Pop, 1995.
4. ^ Haran Jarden, 2000.
5. ^ Jannsen Wingberg, 1982.
6. ^ Neukirch Schmidt Wingberg, 2000
7. ^ Neukirch Schmidt Wingberg, 2000
8. ^ qtr (PDF), su math.uci.edu. URL consultato il 4 settembre 2019.

Bibliografia

• (EN) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, 2ª ed., Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-37888-X.
• Adrien Douady, Détermination d'un groupe de Galois, in Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 258, 1964, pp. 5305–5308.
• Michael D. Fried e Moshe Jarden, Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11, 3rd, Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001.
• Dan Haran e Moshe Jarden, The absolute Galois group of C(x), in Pacific Journal of Mathematics, vol. 196, n. 2, 2000, pp. 445–459, DOI:10.2140/pjm.2000.196.445.
• David Harbater, Fundamental groups and embedding problems in characteristic p, in Recent developments in the inverse Galois problem, Contemporary Mathematics, vol. 186, Providence, RI, American Mathematical Society, pp. 353–369.
• Uwe Jannsen e Kay Wingberg, Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ -adischer Zahlkörper, in Inventiones Mathematicae, vol. 70, 1982, pp. 71–78, Bibcode:1982InMat..70...71J, DOI:10.1007/bf01393199.
• Florian Pop, Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture, in Inventiones Mathematicae, vol. 120, n. 3, 1995, pp. 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, DOI:10.1007/bf01241142.

Collegamenti esterni

• (EN) Absolute Galois Group, su nLab. URL consultato il 28 novembre 2019.
• rappresentazione galoisiana, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.

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