In matematica, un numero di Kaprekar in una data base è un numero intero non-negativo, il cui quadrato nella data base sia rappresentato da una cifra che può essere divisa in due parti che sommate tra loro diano di nuovo il numero di partenza. Per esempio, 297 è un numero di Kaprekar in base 10, perché 297² = 88209, che si può dividere in 88 e 209, e 88 + 209 = 297. La seconda parte può iniziare con uno zero, ma deve essere un numero positivo. Per esempio, 999 è un numero di Kaprekar in base 10, poiché 999² = 998001, che si può dividere in 998 e 001, e 998 + 001 = 999. Invece 100 non lo è; anche se 100² = 10000 e 100 + 00 = 100, in questo caso la seconda parte non è un numero positivo.

Volendo formulare la cosa in termini matematici, si prenda un numero X che sia intero e non negativo. X è un numero di Kaprekar in base b se esistono dei numeri interi non negativi n, A e B che soddisfino le tre condizioni seguenti:

0 < B < bn
X² = Abn + B
X = A + B

I primi numeri di Kaprekar in base 10 sono (EN) Sequenza A006886, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999 , 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Nella numerazione binaria, tutti i numeri perfetti pari sono numeri di Kaprekar.

Per ogni base esistono infiniti numeri di Kaprekar; in particolare, per una data base b tutti i numeri di forma bn - 1 sono numeri di Kaprekar.

I numeri di Kaprekar prendono il nome da D. R. Kaprekar.

Bibliografia

  • D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, J. Rec. Math., 13 (1980-1981), 81-82.
  • M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
  • Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html


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