Modello di dispersione esponenziale

Le famiglie di dispersione esponenziale sono un insieme di modelli parametrici, appartenenti a una classe più ampia, esprimibile tramite una funzione di distribuzione ascrivibile a

${\displaystyle p(y|\theta ,\phi )=\exp {\left\{{\frac {\theta y-b(\theta )}{a(\phi )}}+c(y,\phi )\right\}}}$

in cui ${\displaystyle y\in {\mathcal {S}}\subseteq \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \theta \in \Theta \subseteq \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \phi >0}$, ${\displaystyle a(\phi )>0}$. Il parametro ${\displaystyle \theta }$ è detto "parametro naturale", mentre ${\displaystyle \phi }$ è detto "parametro di dispersione". Spesso ${\displaystyle a(\phi )=\phi }$ oppure ${\displaystyle a(\phi )=\phi /w}$, con ${\displaystyle w}$ costante nota. Inoltre, per alcuni importanti modelli, come Poisson, esponenziale e Bernoulli, ${\displaystyle \phi =1}$, dunque sono parametrizzate solo da ${\displaystyle \theta }$.^[1]

Esiste anche una versione vettoriale, che si applica per risposte ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{k}}$ multivariate, ovvero

${\displaystyle p(\mathbf {y} |{\boldsymbol {\theta }},\phi )=\exp {\left\{{\frac {{\boldsymbol {\theta }}^{T}\mathbf {y} -b({\boldsymbol {\theta }})}{a(\phi )}}+c(\mathbf {y} ,\phi )\right\}}}$

in cui ${\displaystyle \phi }$ è ancora una grandezza scalare.^[2]

La trattazione delle famiglie di dispersione esponenziale nella forma sopra specificata risulta particolarmente funzionale alle analisi di regressione e allo studio dei modelli lineari generalizzati.

Media, varianza e cumulanti di ordine superiore

Definendo la funzione generatrice dei cumulanti ${\displaystyle K_{Y}(t|\theta ,\phi )}$  come il logaritmo della funzione generatrice dei momenti ${\displaystyle M_{Y}(t|\theta ,\phi )=\mathbb {E} [e^{tY}]}$ , si ottiene

${\displaystyle {\begin{array}{l}M_{Y}(t|\theta ,\phi )=\mathbb {E} [e^{tY}]=\int _{\mathcal {S}}e^{ty}p(y|\theta ,\phi )dy=\exp \left\{{\frac {b(\theta +t\cdot a(\phi ))-b(\theta )}{a(\phi )}}\right\}\\[12pt]K_{Y}(t|\theta ,\phi )=\log M_{Y}(t|\theta ,\phi )={\frac {b(\theta +t\cdot a(\phi ))-b(\theta )}{a(\phi )}}\end{array}}}$ 

da cui si possono ricavare i generici cumulanti di ordine ${\displaystyle r}$  derivando ${\displaystyle r}$  volte ${\displaystyle K_{Y}}$  in ${\displaystyle t=0}$ , risulta pertanto

${\displaystyle \kappa _{r}(Y)=\left.{\frac {\partial ^{r}K_{Y}(t|\theta ,\phi )}{\partial t^{r}}}\right|_{t=0}=a(\phi )^{r-1}b^{(r)}(\theta )}$ 

dove ${\displaystyle b^{(r)}}$  denota la derivata ${\displaystyle r}$ -esima di ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle r=1,2,3,\dots }$  .

A partire da questo risultato è facile ottenere le espressioni per media e varianza della variabile ${\displaystyle Y}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbb {E} [Y]=\kappa _{1}(Y)=b'(\theta )\\[10pt]{\text{Var}}(Y)=\kappa _{2}(Y)=a(\phi )b''(\theta )\end{array}}}$ 

e poiché ${\displaystyle \mathrm {Var} (Y)>0}$  e ${\displaystyle a(\phi )>0}$  consegue che ${\displaystyle b''(\theta )>0}$ , vale a dire che ${\displaystyle b(\theta )}$  è una funzione convessa e ${\displaystyle b'(\theta )=\mu (\theta )=\mathbb {E} [Y]}$  è una funzione strettamente crescente, con dominio ${\displaystyle \Theta }$  e codominio lo spazio delle medie ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ , dunque anche biiettiva, con inversa ${\displaystyle \theta (\mu )}$ .

I cumulanti di ordine 3 e 4 danno rispettivamente una misura di asimmetria e curtosi.

Funzione di varianza

Si è visto ${\displaystyle \mathrm {Var} (Y)}$  esprimibile come funzione di ${\displaystyle \phi }$  e di ${\displaystyle \theta }$ , ma poiché ${\displaystyle \theta }$  è in relazione biunivoca con ${\displaystyle \mu }$ , è possibile scrivere^[1]

${\displaystyle \mathrm {Var} (Y)=a(\phi )b''(\theta )=a(\phi )v(\mu )}$ 

in cui ${\displaystyle v(\mu )}$  viene denominata "funzione di varianza". La funzione di varianza caratterizza, assieme ad ${\displaystyle a(\phi )}$ , una precisa famiglia di dispersione esponenziale. Ad esempio solo 6 famiglie della classe DE hanno funzione di varianza al più quadratica (${\displaystyle v(\mu )=\alpha +\beta \mu +\gamma \mu ^{2}}$ ).^[3]

Parametrizzazione con media e funzione di varianza

Per le ragioni presentate precedentemente si può pensare di esprimere l'intera distribuzione come espressione di media ${\displaystyle \mu }$  e varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}=a(\phi )v(\mu )}$  e a tal fine introdurre una notazione compatta ${\displaystyle Y\sim DE(\mu ,a(\phi )v(\mu ))}$ , con ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {M}},\ \phi >0,\ a(\phi )>0}$ .^[2]

Principali famiglie di dispersione esponenziale

La classe delle famiglie di dispersione esponenziale, come visto, è in grado di racchiudere sia distribuzioni continue, che discrete. La tabella sottostante riassume i principali modelli che ne fanno parte, le loro caratteristiche e le relazioni tra i parametri tradizionali e quelli della dispersione esponenziale.

Distribuzioni continue		${\displaystyle {\mathcal {S}}}$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle b(\theta )}$	${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle a(\phi )}$	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle v(\mu )}$
Distribuzione normale	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \theta ^{2}/2}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle 1}$
Distribuzione gamma	${\displaystyle Ga\left(\alpha ,{\frac {\alpha }{\mu }}\right)}$	${\displaystyle [0,+\infty )}$	${\displaystyle -1/\mu }$	${\displaystyle (-\infty ,0)}$	${\displaystyle -\ln(-\theta ))}$	${\displaystyle 1/\alpha }$	${\displaystyle 1/\alpha }$	${\displaystyle (0,+\infty )}$	${\displaystyle \mu ^{2}}$
Distribuzioni discrete
Distribuzione binomiale (riscalata)	${\displaystyle {\frac {1}{m}}Bi(m,\mu )}$	${\displaystyle \left\{0,{\frac {1}{m}},{\frac {2}{m}},\dots ,1\right\}}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {\mu }{1-\mu }}\right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \ln(1+\exp(\theta ))}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1/m}$	${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle \mu (1-\mu )}$
Distribuzione di Poisson	${\displaystyle Po(\mu )}$	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle \ln {\mu }}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \exp(\theta )}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$	${\displaystyle \mu }$

rientrano nella classe anche la distribuzione binomiale negativa, la distribuzione normale inversa e la distribuzione di Tweedie.

Note

1. Alessandra Salvan, Nicola Sartori e Luigi Pace, Modelli Lineari Generalizzati, Milano, Springer, 2020, ISBN 978-88-470-4001-4.
2. Bent Jørgensen, Exponential Dispersion Models, in Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), vol. 49, n. 2, 1987, pp. 127-162.
3. ^ Carl N. Morris, Natural exponential families with quadratic variance functions, in The Annals of Statistics, vol. 10, n. 1, 1982, pp. 65-80.

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